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　　例３：　素朴な貨幣数量説を対数微分を用いて増加率の関係に変形（『入門マクロ経済学第三版』p.110.）　

　　[設定]　　

　　　t:　　時間（ここでは、単位が年だとする）、

　　　P(t):　t時点における物価水準、

　　　Y(t):　t時点における実質国民所得、

　　　M(t):　t時点における名目貨幣供給量、

　　　k :　　時間にかかわらず一定であり続ける定数(マーシャルのk：貨幣の流通速度の逆数)、

　　　P(t) = M(t) ／ ( k Y(t) ) 　　　　…�@　

　　　なお、P(t), Y(t), M(t), k ＞ 0　、P(t), Y(t), M(t)はすべてのtの範囲で微分可能　…�A　　

　　[対数微分を用いて、�@を増加率間の関係の形に変形]　

　　　　手順1. 等式�@が成り立つなら、その両辺の絶対値の対数をとった等式も成り立つ。　　

　　　　　log| P(t)|　＝　log| M(t) ／ ( k Y(t) )|　　

　　　　　log P(t) 　＝　log { M(t) ／ ( k Y(t) )}　

　　　　　　　　　　＝　log M(t) −log ( k Y(t) )　∵対数の性質　

　　　　　　　　　　＝　log M(t) −（log k ＋logY(t)　）　∵対数の性質　　　　　

　　　　　　　　　　＝　log M(t) −log k −logY(t)　　…�B　　　

　　　　手順2. �Bの左辺をtで微分する。関数の対数の微分を適用。

　　　　　(　log P(t)　)’＝　P ' (t)／P (t)　　∵�Aのもとで関数の対数の微分　

　　　　手順3. �Bの右辺をtで微分する。関数の対数の微分を適用。　

　　　　　 (　log M(t) −log k −logY(t)　)’＝(log M(t) )’−(log k)’−(logY(t))’∵関数の和の微分　　　

　　　　　　　　　　＝　M ' (t)／M (t)−０−Y ' (t)／Y (t)　∵�Aのもとで関数の対数の微分,定数の微分　　　

　　　　　　　　　　＝　M ' (t)／M (t)−Y ' (t)／Y (t)　　…�D　　　　　　　　

　　　　手順４.等式�Bが成り立つなら、その両辺を微分した等式も成り立つ。

　　　　　　(　log P(t)　)’＝　(　log M(t) −log k −logY(t)　)’　

　　　　　　　P ' (t)／P (t)　＝　M ' (t)／M (t)−Y ' (t)／Y (t)　…�E　

　　　[�Eの左辺の解釈]　

　　　　t時点における物価水準P(t)の導関数　　

　　　　　　　　　∵微分係数の定義　

　　　　まず、分子P(t+��t )−P(t)は、t時点の物価が、瞬間的な時間の長さ��t経過後、

　　　　これを、瞬間的な時間の長さ��tで割ることは、

　　　　　　　　　　　tの単位あたり、ここでは「年次あたり」に、換算することを意味する。

　　　　ゆえに、P(t)の導関数全体は、t時点という「瞬間」における物価変動が　　

　　　　　「年率換算」を施すと何ポイントの上昇幅となるのかを意味している。　　　

　　　　ということは、P ' (t)／P (t)は、　

　　　　　　　t時点の「瞬間」的物価変動の年率換算値は、

　　　　　　　t時点における物価水準の

　　　　　　　何パーセントにあたるかを、意味している。　

　　　　これは、t時点という瞬間の物価上昇率（インフレ率）にほかならない。　

　　　[�Eの右辺第一項の解釈]　

　　　　t時点における名目貨幣供給量M(t)の導関数　　

　　　　　　　　　∵微分係数の定義　

　　　　まず、分子M(t+��t )−M(t)は、t時点において市中に出回っている貨幣供給量が、

　　　　瞬間的な時間の長さ��t経過後、どれだけ増えたのかを示している。　　　　　　

　　　　これを、瞬間的な時間の長さ��tで割ることは、

　　　　　　　　　　　tの単位あたり、ここでは「年次あたり」に、換算することを意味する。

　　　　ゆえに、M(t)の導関数全体は、t時点という「瞬間」に市中へ「新たに」出てきた貨幣量が　　

　　　　　そのペースで一年間出てきたとしたら何円になるのかを意味している。　　　

　　　　ということは、M ' (t)／M (t)は、

　　　　　　　t時点の「瞬間」に市中に「新しく」出てきた貨幣量の年率換算額は、

　　　　　　　t時点に既に市中で使われている貨幣の総量の

　　　　これは、t時点という瞬間のマネーサプライ増加率ないしマネーサプライ成長率。　

　　　[�Eの右辺第二項の解釈]　

　　　　t時点における実質国民所得Y(t)の導関数　　

　　　　　　　　　∵微分係数の定義　

　　　　まず、分子Y(t+��t )−Y(t)は、t時点の国民所得が、瞬間的な時間の長さ��t経過後、

　　　　これを、瞬間的な時間の長さ��tで割ることは、

　　　　　　　　　　　tの単位あたり、ここでは「年次あたり」に、換算することを意味する。

　　　　ゆえに、Y(t)の導関数全体は、t時点という「瞬間」における国民所得の増大が　　

　　　　　「年率換算」を施すと何ポイントの増大幅となるのかを意味している。　　　

　　　　ということは、Y ' (t)／Y (t)は、

　　　　　　　t時点における国民所得の「瞬間」的増大幅の年率換算値は、

　　　　　　　t時点における国民所得の

　　　　　　　何パーセントにあたるかを、意味している。　

　　　　これは、t時点という瞬間の経済成長率にほかならない。　

　　　[�Eの右辺全体の解釈]　

　　　　だから、�Eは、インフレ率(%／年)は、

　　　　　　　　　貨幣供給量の増加率(%／年)から経済成長率(%／年)を差し引いたものである、