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戻る対数微分法・相対変化率の活用例２：
[吉川洋『マクロ経済学』岩波書店、1995年、p.18.][
設定]t: 時間（ここでは、単位が年だとする）、
P(t): t時点における物価水準を示す指数（GNPデフレーター）、
Y(t): t時点における実質GNP、
YN(t): t時点における名目GNP、
とすると、これらの間に、
Y(t) = YN(t) ／ P(t) …①
という関係が成り立つ。（というか、成り立つように
GNPデフレーター・実質GNPは定義されている）なお、
P(t), Y(t), YN(t)は常にプラスで、すべてのtの範囲で微分可能 …②とする。
[
対数微分を用いて、①を増加率間の関係の形に変形]手順
1. 等式①が成り立つなら、その両辺の絶対値の対数をとった等式も成り立つ。log| Y(t) | ＝ log| YN(t) ／ P(t) |
②より、
log Y(t) ＝ log { YN(t) ／ P(t)}
＝
log YN(t) －logP(t) ∵対数の性質 …③手順
2. ③の左辺をtで微分する。関数の対数の微分を適用。( log Y(t) )’＝ Y ' (t)／Y (t) ∵②のもとで関数の対数の微分
…④
手順
3. ③の右辺をtで微分する。関数の対数の微分を適用。( log YN(t) －logP(t) )’＝( log YN(t) )’－( logP(t) )’ ∵関数の和の微分
＝
YN ' (t)／YN(t)－P ' (t)／P (t) ∵②のもとで関数の対数の微分,定数の微分…⑤
手順４
.等式③が成り立つなら、その両辺を微分した等式も成り立つ。( log Y (t) )’＝ ( log YN (t) －logP(t) )’
④⑤の結果を代入して、
Y ' (t)／Y (t) ＝ YN ' (t)／YN(t)－P ' (t)／P (t) …⑥
[⑥の左辺の解釈]
t時点における実質GNP Y(t)の導関数
∵微分係数の定義
の意味を考えてみる。
まず、分子
Y(t+⊿t )－Y(t)は、t時点の実質GNPが、瞬間的な時間の長さ⊿t経過後、どれだけ増えたのかを示している。
これを、瞬間的な時間の長さ⊿
tで割ることは、tの単位あたり、ここでは「年次あたり」に、換算することを意味する。
ゆえに、
Y(t)の導関数全体は、t時点という「瞬間」における実質GNPの増大が「年率換算」を施すと何ポイントの増大幅となるのかを意味している。
ということは、
Y ' (t)／Y (t)は、t時点における実質GNPの「瞬間」的増大幅の年率換算値は、
t時点における実質GNPの
何パーセントにあたるかを、意味している。
これは、
t時点という瞬間の（年率換算）実質経済成長率にほかならない。瞬間なのに、単位は「年」何パーセント、となることに注意。
[⑥の右辺第一項の解釈]
t時点における名目GNP YNの導関数
∵微分係数の定義
の意味を考えてみる。
まず、分子
YN (t+⊿t )－YN (t)は、t時点の名目GNPが、瞬間的な時間の長さ⊿t経過後、どれだけ増えたのかを示している。
これを、瞬間的な時間の長さ⊿
tで割ることは、tの単位あたり、ここでは「年次あたり」に、換算することを意味する。
ゆえに、
YN (t)の導関数全体は、t時点という「瞬間」における名目GNPの増大が「年率換算」を施すと何ポイントの増大幅となるのかを意味している。
ということは、
YN ' (t)／YN (t)は、t時点における名目GNPの「瞬間」的増大幅の年率換算値は、
t時点における名目GNPの
何パーセントにあたるかを、意味している。
これは、
t時点という瞬間の（年率換算）名目経済成長率にほかならない。瞬間なのに、単位は「年」何パーセント、となることに注意。
[⑥の右辺第二項の解釈]
t時点における物価水準P(t)の導関数
∵微分係数の定義
の意味を考えてみる。
まず、分子
P(t+⊿t )－P(t)は、t時点の物価が、瞬間的な時間の長さ⊿t経過後、どれだけ上昇したのかを示している。
これを、瞬間的な時間の長さ⊿
tで割ることは、tの単位あたり、ここでは「年次あたり」に、換算することを意味する。
ゆえに、
P(t)の導関数全体は、t時点という「瞬間」における物価変動が「年率換算」を施すと何ポイントの上昇幅となるのかを意味している。
ということは、
P ' (t)／P (t)は、t時点の「瞬間」的物価変動の年率換算値は、
t時点における物価水準の
何パーセントにあたるかを、意味している。
これは、
t時点という瞬間の物価上昇率（インフレ率）にほかならない。瞬間なのに、単位は「年」何パーセント、となることに注意。
[⑥の右辺全体の解釈]
だから、⑥は、実質経済成長率
(%／年)は、名目経済成長率
(%／年)からインフレ率(%／年)を差し引いたものである、と主張していることになる。
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