分散分析：一元配置表モデル

分散分析の中で、一元配置表モデルを取り上げる。一元配置表モデルの拡張は、二元配置表モデルにある。

例題1 : ある化学品の収量が触媒の添加量によって差があるかどうかを検討するため、因子 `A` として触媒の添加量を `a = 3` 水準（`A_1, A_2, A_3`）取り上げて実験した。 各水準での繰り返しを `n = 4` として、合計 `N= an = 3 times 4 = 12` 回の実験をランダムに行ったところ、表 1.1 のデータが得られた。解析せよ(文献[1] 例題4.1 より改題)。

解答1: AIC モデルについて、因子 `A` の効果を考慮しないモデル (`O/`) と考慮するモデル（`A`）の AIC を求めた。両者を比較すると (`A`) のモデル AIC が、 考慮しないモデル (`O/`) より小さいので、因子 `A` を考慮するモデルがよい。すなわち、因子 `A` の効果があるといえる。
伝統的な分散分析では、表 1.3 のとおり分散分析表を作成する。結果は `P` 値が 0.0321 であるから、5 % 水準で有意である。 すなわち、5 % 水準で因子 `A` の効果があるといえる。

例題2 : 4 種類の材料`A_1, A_2, A_3, A_4` のサンプルの耐摩耗量を調べた。重量減少を mg 単位で測り 4 回繰り返した結果が 表 2.2 である。 このデータから材料の間の耐摩耗性の差を検出できるか。 解析せよ(文献[6] 例9.1 より改題)。

解答2: AIC モデルについて、因子 `A` の効果を考慮しないモデル (`O/`) と考慮するモデル（`A`）の AIC を求めた。両者を比較すると考慮した (`A`) のモデル AIC が、 考慮しないモデル (`O/`) より大きいので、因子 `A` を考慮しないモデルがよい。これは「耐摩耗性の差が（サンプルが少ないため）検出できない」と解釈すべきである。
伝統的な分散分析では、表 2.3 のとおり分散分析表を作成する。結果は `P` 値が 0.9005 であるため、5 % 水準では有意ではない。すなわち、因子 `A` の効果はわからない。 この「わからない」の意味も、「耐摩耗性の差が（サンプルが少ないため）検出できない」と解釈すべきである。

例題3 : ある材料の摩耗量を調べる機械がある。この機械の取り付け位置は 4 箇所 `A_1, A_2, A_3, A_4` あり、 場所により耐摩耗量が異なるかをサンプルで調べた。 重量減少を mg 単位で測り 4 回繰り返した結果が 表 2.3 である。 このデータから取付位置の間の耐摩耗性の差を検出できるか。 解析せよ(文献[6] 例9.1 より改題)。

解答3: AIC モデルについて、因子 `A` の効果を考慮しないモデル (`O/`) と考慮したモデル（`A`）の AIC を求めた。表 3.2 に示す。 両者を比較すると考慮した (`A`) のモデル AIC が、 考慮しないモデル (`O/`) より小さいので、因子 `A` を考慮したモデルがよい。位置によって耐摩耗量が異なることがわかる。」と解釈すべきである。 それぞれの取付位置の平均を比べると、`A_4` の位置の摩耗が激しいことがわかる。
伝統的な分散分析では、表 3.3 のとおり分散分析表を作成する。結果は `P` 値が 0.0094 であるため、5 % 水準では有意である（1 % 水準でも有意）。 すなわち、因子 `A` の効果はある。

入力データの計算

以下データ欄にデータを入力すると計算できる。

例題1 例題2 例題3

計算

AIC を用いた手法と伝統的な分散分析の手法の比較

解答:AIC を用いた手法と伝統的な分散分析の手法とを比較する。

AIC を用いた手法

AIC を用いる方法は、次のいずれのモデルがよいかを調べる方法である。
モデル `O/` : `y_(ij) = mu + e_(ij), e_(ij) ～ N(0, sigma_(O/)^2)`
モデル `A` : `y_(ij) = mu + alpha_i + e_(ij), \quad sum_(i=1)^alpha n_i alpha_i = 0, \quad e_(ij) ～ N(0, sigma_(A)^2)`

モデル `O/` は因子 `A` の効果を認めず、全てが同じ正規分布に従うとするモデルである。このときの `sigma^2` は、総平方和を全データ数で除した値である。 また自由パラメータ数は、`mu` と `sigma^2` の 2 である。

モデル `A` は因子 `A` の効果を認め、水準 `i` に属する場合に要因効果 `alpha_i` を採用し、これに総平均 `mu` と誤差項 `e_(ij)` が加わるモデルである。 このときの `sigma^2` は、誤差平方和を全データ数で除した値である。 また自由パラメータ数は、`mu` と `sigma^2` の 2 に、水準数 `a` から 1 を差し引いた `a-1` を加える。すなわち、`a+1` である。 ここで 1 を差し引くのは、`alpha_i` には、`sum_(i=1)^alpha n_i alpha_i = 0` の制約式があるので自由度が 1 減るからである。

AIC は次の式で与えられる。全データ数を `n`、最尤推定量としての分散を `hatsigma^2`、自由パラーメータの数を `m` とする。

AIC = `n log 2pi + n log hat sigma^2 + n + 2 times(m)`

伝統的な分散分析の手法

分散分析には、分散分析表と呼ばれる表を作るのがよい。 まず、表の一番左の列は見出しとなる値を変動させる要因を書く。下記の表では因子 `A` と誤差 `e` 、全体 `T` を書く。

2 番の列からデータを記載する。この列には平均からの偏差の平方和を記す。ここでは、水準間のバラツキや誤差のバラツキ、データ全体のバラツキを記す。
水準間のバラツキを因子 `A` の平方和といい `SS_A` と書き、次の式で与えられる。

3 番めの列には自由度を書く。`A` の自由度を `df_A` と書くと `df_A = a-1`である。また `e` の自由度を `df_e` と書くと `df_e=a(n-1)`である。 また`T` の自由度は `na-1` である。

4 番目の列は平均平方を書く。これは、全体以外の変動要因について、平方和を自由度で割った値である。

5 番目の列は `F` 値を書く。これは、全体・誤差以外の変動要因について、平均平方を誤差で割った値であり、因子 `A` の`F` 値を `F_A` とおく。 この値が 1 よりずっと大きいときは、帰無仮説のもとで、小さな確率でしか観測されない。帰無仮説は通常 `H_0` で表し、この例1の場合は次のような仮説である

6 番目の列（右端）は、帰無仮説のもとで、その値以上の数値が得られる確率を書く。この確率を「限界水準」と呼ぶ。P 値という場合もある。限界水準は、 次の積分の値である。なお、`df_A = phi, df_e = varphi` とおいた。

第１の方法は、限界水準を求めてから有意か否かを判断するタイプである。この教科書は、[2]、[5] などがある。[2] は統計ソフトとして SPSS を使うことを前提としているようだ。 [5] は題名の通り、Excel を用いた限界水準を求めている。

F 値から限界水準を直接計算できないという前提に立つ。この場合は `F` 値を k% F 分布表と照合し、F 値が k% F 分布表より小さい場合には k % 水準で有意である、 という手法をとる。この手法をとるのは、[1]、[3]、[4] などである。[1] は Excel を利用しているが、F 分布表で判断している。これは理由あってのことである。 同書を参照してほしい（私は理解できないが）。

参考

1. 松本哲夫[編著]:Excel による実験計画法
2. 豊田秀樹:違いを見ぬく統計学
3. 東京大学教養学部統計学教室(編):自然科学の統計学
4. 永田靖:入門 実験計画法
5. 渕上美喜ほか:Excel で学ぶ営業・企画・マーケティングのための実験計画法
6. 坂元　慶行, 石黒　真木夫, 北川　源四郎:情報量統計学

まりんきょ学問所 ≫ 統計活用術 ≫ 分散分析：一元配置表モデル