１次変換と行列式

これは某私立高校に投稿したネタですが、ホームページ担当の先生が交替したようで、もうリンクされていません。

内積と外積は、複素数を拡張して得られた「４元数の積の演算を定義した」ところからの派生である。
aとbを複素数として、あらたに j という虚数単位を導入し　a＋bj　　なんてのを想像する。
　a ＋ bj　　α、β、γ、δを実数として　a＝α+βi b=γ+δi　　で代入してみると
α＋βi ＋γj＋δij 　問題は, iとjを掛けるとどうか？　i・j=k　　なんと新しいまた「虚数単位 k 」　だという。　すなわち4元数だ。
=α＋βi ＋γj＋δk　　　虚数単位が　i,j,kの3成分ある
（さらに4元数を係数にして、新たな虚数単位を１つ追加すると8元数に拡張されます）
虚数同志の関係は？
・方向成分の同じもの同士をかける i,j,kは2乗すると-1になる
・方向成分の違うもの同士をかけると、もうひとつの成分になる　ij=k, jk=i , ki=j 　交換法則は成り立たず、符号マイナス　
虚数３成分が３次元ベクトルに使われるようになった。
虚部同士の掛け算の部分をi,j,kの方向成分を持つベクトルと想定して９項を表にしてみると、「外積」－「内積」なのである。

ａ×ｂ	b₁i	b₂j	b₃k
a₁i	-a₁b₁	a₁b₂k	-a₁b₃j
a₂j	-a₂b₁k	-a₂b₂	a₂b₃i
a₃k	a₃b₁j	-a₃b₂i	-a₃b₃

３つの虚部の性質は、3次元における３つの単位ベクトル同士の内積や外積の元になったのである。

内積：
２つの数の方向が違う（数直線の向きが同じでない）数同士を実数の掛け算みたくやる計算
どっちかに数直線の定規を合わせることにして、一方の向きの沿わない数はその数直線へ射影をとり、それで普通の実数の掛け算をするのである。
ベクトルの向きが90度以上開くと、符号が異なる数の掛け算になり負になる。

外積：
方向が揃っていると効いてこない。90度に開いたときが一番効果がある。
２つのベクトル同士でつくる平面に対して法線ベクトルである。その大きさは２つのベクトルでつくる平行四辺形の大きさ（右ねじの向き）を物差しにしている。

内積や外積の成分をみるには、単位ﾍﾞｸﾄﾙに分け、代数の掛け算のように扱うのが一つの手だね。
（一次結合は、まあ、各要素のスカラー倍したものの和という形式）単位ベクトルに分解したときの係数がベクトルの成分表示である。

３項×３項　展開によって、９つの単位ベクトル演算の項が出てくる。単位ベクトルの内積・外積の単純な計算が使える。
９通りの組合せ表にして見ると、内積は「同じ成分同士の積」の組み合わせのみ、外積は同じ成分同士の積の項はない。

ａ･ｂ	b₁e_x	b₂e_y	b₃e_z
a₁e_x	a₁b₁	０	０
a₂e_y	０	a₂b₂	０
a₃e_z	０	０	a₃b₃

ａ×ｂ	b₁e_x	b₂e_y	b₃e_z
a₁e_x	０	a₁b₂e_z	-a₁b₃e_y
a₂e_y	-a₂b₁e_z	０	a₂b₃e_x
a₃e_z	a₃b₁e_y	-a₃b₂e_x	０

スカラー3重積
1) ３つのベクトルのうち２つを選び外積（ベクトル）を求める。
2) それと残りのベクトルとの内積を求める
例えば,　3ベクトルa,b,cで「ａ×ｂというﾍﾞｸﾄﾙ」と「ﾍﾞｸﾄﾙｃ」の内積の形をスカラー３重積という。

一つの例として　外積　ａ×ｂ　最初のｘ成分をとりあげてみようか。
下記のように列ﾍﾞｸﾄﾙａ、ｂ、ｃを３列ならべて、3×3行列をつくったとき（添え字の１，２，３が各ベクトルx,y,z成分に対応します）

a₁	b₁	c₁
a₂	b₂	c₂
a₃	b₃	c₃

ａ×ｂのｘ成分 (a₂b₃-a₃b₂)は、上記３×３行列のc₁の所属している行と列を取り除いた部分行列２×２行列の行列式
で、c₁の余因子という。　y,z成分についてもc₂,c₃の余因子が言える。
ただ、m行n列目でm+n=奇数ならマイナスを付ける。　3行2列目なら　3+2=5なのでマイナス。

（ａ×ｂ）・ｃ = (a₂b₃-a₃b₂)c₁+(a₃b₁-a₁b₃)c₂+(a₁b₂-a₂b₁)c₃

上記右辺のことを、3列目（すなわちベクトルCの成分）で３ｘ３行列式を余因子展開したという。
余因子展開とは、ある行か列の成分に着目（3列目）し、これ以外の余因子成分（この場合2×2行列ｘ3通り）の行列式を1次結合する。
「余因子成分でできたベクトル」と「ﾍﾞｸﾄﾙｃ」との内積　と言ってもいい。
これにより行列式の次数は3次から2次の行列式に下がった形に展開できるよ（一般化では次数が下がるよ）というやつで、大学の線形代数で出てくるものだ。

1列目ベクトルa、2列目ベクトルbで余因子展開しても同じ行列式になる
（ｂ×ｃ）・ａ　 1列目aベクトル要素の余因子展開に相当
（ｃ×ａ）・ｂ　 2列目ｂベクトル要素の余因子展開に相当

上の外積は、かならず、a→b→c→aの循環で行う。a,b,cがｘ,ｙ,ｚ系と同じ軸の関係であれば正である。

これが３つの列ベクトルでできた「スカラー3重積であり、３ｘ３行列式」である。

単位ベクトルｙ方向、z方向もあるから、単位ベクトルの列による余因子展開で上記のように3通り表現が作れる。

　「行ベクトルで」やっても行列式の結果は同じである。
列目線、行目線どっちでもいいのだが、列ベクトルは一次変換で慣習的に使われるだけである。

3次元だと　行列式は、列ベクトルもしくは行ベクトルの以下のスカラー3重積

3次元レベルなら、直観的に下記の①②③の行列の簡素化のことがわかりやすい。

・①行や列を入れ替えることは、スカラー3重積の外積の順番が変わり、行列式は正負の符号が変わる。
　これは、行や列を入れ替えて行列式を求めるときにはマイナスを付ける。
・②行や列で同じものが２つあると、スカラー3重積の同じベクトル同士の外積＝０なので、行列式＝０。
　　下記の③、行もしくは列の成分０に変形でき、余因子展開で行列式＝０となってしまうこと。
・③ある行に、別行の何倍かを加減（列も同様）してもスカラー3重積がかわらないから、行列式を求めるとき使える。

これを基にして、以下のように、「行列式を求めるのに都合のよい行列に変形」する技が使える。

端っこの1行目1列目や3行目3列目とかは、余因子は素直に行と列を取り除いた２ｘ２行列式でいい。それ以外だとマイナスが付くときがあるね。
それは、行や列をいれかえて端っこに持ってくと①のことが起こるので、予想できるだろう。行と列の和が偶数か奇数かで決まる。1行2列目だと１＋２＝３で奇数だから、マイナスが付く。

基本的な行列の表現作法、名称など　　

補足としては、
※　転置行列をさらに転置行列するともとの行列に戻るだけである。
※　すでに述べたが、行列の積の結果を転置すると、それは転置した行列同志の掛け算になるが、掛ける順序は逆になる。
※　対角行列は対称行列に所属する（ＯもEも対称行列＆対角行列の一種である）。対角行列同志の演算は成分が対角しかなく計算がスカラーっぽくて楽である。

このとき、行列ってのは、ベクトルを並べたものと考え,
3×3行列なら、3次元ベクトルを3行並べたと見るか、3列並べたかだ。

成分が横に並んでいるのだけがベクトルじゃない（a,b,c）のように表示する方が高校でよく見かけるやつだが、これは便宜上カンマで区切って横書き書物で1行に書きやすいからだ。
各要素を縦にならべた表記は列ベクトルといって一次変換ではよく使われる。要素を横に並べるベクトルのは行ベクトルという。

３×３行列の積は、例えば、下記のように左の2行目の行ﾍﾞｸﾄﾙ　と　右の3列目の列ﾍﾞｸﾄﾙで内積をとると、結果は2行3列目の要素になるわけだ。結局、左の行列の３つの行ベクトルと右の3つの列ベクトルの内積で都合9通りの内積を求めているだけのことなんだな。

　行のベクトル　　　　　　　　　　列のベクトル　　　　　　　　 3行ベクトルx３列ベクトルで内積が９通り

お互いのベクトル次元(成分の数）が合わなければ内積の演算ができない
左の列数と右の行数が一致するとき成立　
注意：行列の掛ける順序をかえたらベクトルの組み合わせが変わってしまうから、交換の法則は成り立たないだろう。
この各行列の「行と列の反転した」積の形は、掛ける順が逆だと辻褄が合う　（Ａの転置行列を^tAと書く、行と列の反転したもの）

A x B = C 　ならば ^tBｘ^tA＝^tC

　行のベクトル　　　　　　　　　　列のベクトル　　　　　　　　 3行ベクトルx３列ベクトルで内積が９通り

逆行列も、内積の知識で予想できる。
２つの行ベクトルと２つの列ベクトルの4通りの内積のうち、２通りは０（すなわち）直交しているということになる。
そこから、不明な左の行列にある行ベクトルを推測できるだろう。　　

1行目の行ベクトルと、列ベクトル（ｂ，ｄ）の内積は０、直交している。なので、例えば(d,-b)というベクトル方向
2行目の行ベクトルと、列ベクトル（ａ，ｃ）の内積は０、直交している。なので、例えば(-c,a)というベクトル方向
成分を逆にし、一方にマイナス符号をつける、直交するベクトルを作る簡単な方法、内積の計算から考えてもすぐ思いつくものだ。
直交ﾍﾞｸﾄﾙだから高校生なら傾きから考えてもいい。直線だと傾きmとm'同士の積が-1になる。mm'=-1，とかmm’+1=0　これは(1,m），(1,m'）のベクトルの内積が０ということだ。

もとの行列をA,　左からかける行列をB、として書き直すと
　BA=|A|E　単位行列のスカラー倍となる　ad-bcはAの行列式で、記号は|A|と表す。
Bの形は、逆行列のスカラー倍だとわかる。　だから、Bを　スカラー　ad-bc=|A|で割っておけば、逆行列である。
ただし、|A|＝ad-bc=0のときは逆行列は求まらない。
積BA＝O　いわゆるBやAはお互いの零因子である。AやBは零行列ではなくてよい。

b×ｃ	×	ａ	ｂ	ｃ
ｃ×ａ
ａ×ｂ

Ｂの行ﾍﾞｸﾄﾙとＡの列ﾍﾞｸﾄﾙの内積の組合せを求めると、やはり BA=|A|E

ＢＡ	ａ	ｂ	ｃ
ｂ×ｃ	\|Ａ\|	０	０
ｃ×ａ	０	\|Ａ\|	０
ａ×ｂ	０	０	\|Ａ\|

上のように、ベクトルで縦横に表をつくって、内積の組み合わせ9通りを見ればわかるが、

対角成分は
ａ・（ｂ×ｃ）＝（ｃ×ａ）・ｂ＝（ａ×ｂ）・ｃ　＝|Ａ|　　　スカラー3重積,ただし、外積の順番は重要でＡの行列式になる
上式は、a,b,cのいずれも０ベクトルでなくても、いずれか２つのベクトルが平行だった場合、外積が０となり、結果　行列式は０となることを示している。
（独立した３つの軸となっていないということですね。）

それ以外の成分
例えば、ｂ×ｃというﾍﾞｸﾄﾙは、外積の定義からﾍﾞｸﾄﾙｂとﾍﾞｸﾄﾙｃで作る面とは垂直なﾍﾞｸﾄﾙになるわけだから、ﾍﾞｸﾄﾙbやﾍﾞｸﾄﾙｃと内積をとっても０である。
（ｂ×ｃ）・ｂ＝（ｂ×ｃ）・ｃ＝０　、同様にして、結果としてスカラー3重積以外は０になる。

※　|A|=0のときは逆行列は求まらない。このときBA=O－－－－いわゆる零因子である。

Ａの逆行列とは、Ａの列分割したベクトルa,b,c　
で、表現できるのである。

一次変換における正規直行系かどうかはベクトルの内積の知識でわかる
デカルト座標のように大きさ１で互いに直交する座標軸をもつ、そういう軸となるベクトルで行列Aができていること。
これは、無数の座標でできたある図形を変換しても元の形を変えない（反転もしくは回転するだけ）の変換だということだ。
Aの転置行列が逆行列になることである。

ＡＢ＝ＢＡは一般に成立しない。相手行列と単位行列からできているとき。
交換の法則は一般的に成り立たない。AB=BA　は特殊な場合だけ成立する

Aは、Bのスカラー倍でも単位行列のスカラー倍でもない場合
AB=BAが一般的に成り立つBは、AとEの一次結合であること　これを地道に確認してみる

ついでに、地道な計算で|AB|=|A||B|も確かめてみたら

ＡもＢもＯでないときにＡＢ＝Ｏが成立することがある。
逆行列を探す過程で、行列の積でOとなりうるケースがあることをすでにやっている。
Aの行列式＝０；Aの逆行列（積の逆元）がないときには、BA=O　となるBがある。

スカラーでは、０でない数には必ず掛け算の逆元（逆数）が存在する.
行列では、「行列式」＝０でない行列には掛け算の逆元（逆行列）が存在する。
・０でない数aは、（１をその数で割れるので）逆数1/aが存在する　
・行列式が０でない行列は、逆行列が求まる。　
・axb＝０なら、必ず、a,bどちらかは０である。
・AB＝Oなら、必ずしもA,Bどちらかが零行列とは言えない。必ずどちらかが行列式＝０であるということは言える。
　仮にAの行列式＝０なら、Aに乗法の逆元は存在しない、Aに対して零行列でない零因子Bが存在する。

２ｘ２行列については、先ほどの通り、さらに交換の法則もOK
　

上記は行列Ａの固有方程式といい高次Ａの式の次数を下げるときに使われる
後者のスカラー変数で置き換えた式は、固有値方程式で、行列Ａの固有値を求めるものとなる。

行列の固有値を使った2次曲線の分類へ飛びます

複素数の固有値を持ち、複素数の実部・虚部が行列の成分に対応にするものがある。
これは、複素数が行列表現できる話と符号してくる。

複素数の行列表現、4元数の行列表現へのリンク

以下、余因子に置き換えて、話をする。
行列式が「ある行か列のベクトル」を選んで、「その余因子３成分でできたベクトル」との内積とも言えること

下記の逆行列の求め方は、対称行列なので　転置しなくてもいい余因子なので、わかりやすい、例ですね。
行列式がどうかというと、対角成分が０で、サラスの定理（斜めにかけるやつの、逆斜めは０）　すぐ　2abc　と　わかる。

	内積	外積
どんな量なの	スカラー	ベクトル　（3次元以上でないと成立しない）
交換法則	ａ・ｂ　も　ｂ・ａも同じ	符号が反対に（向きが反対）
大きさ	\|a\|\|b\|cosΘ　　　ベクトル同士のなす角Θ 一方のベクトルに数直線を合わせて掛け算した結果である。	\|a\|\|b\|sinΘ　　ベクトル同士のなす角Θ これは２つのベクトルでつくる平行四辺形の面積である。
	垂直な成分は効いて来ない。例えば、仕事は力の成分の変位を及ぼす方向成分しか効果はない。仕事は力のベクトルと変位ベクトルの内積を経路に沿って積算した形となる。	平行な成分は効いて来ない。例えば、ローレンツ力は、荷電粒子の速度ベクトルの磁束に対する鉛直な成分しか効いてこない。一様な磁束中でのらせん運動とは、円運動しながらも、磁束に平行な速度成分もあるから起こることである
		2次元の場合は２つのベクトルの法線方向のベクトルは定義できないので、成立しない。３次元でｘｙ平面上のベクトルの外積をとると、x,yの要素でできた列ベクトルでできた行列の行列式の値がｚ成分となる。２次正方行列式は２つの２次元の列ベクトルでつくった平行四辺形の大きさをしている。３つのベクトルを３次元で見た場合、平行六面体の大きさと関係があるのは、２つのベクトルで外積をとり、これと残りのベクトルと内積をとったスカラー値である。これは、３つの３次元列ベクトルでできた３次正方行列の行列式と同じ大きさである。