特殊相対性理論で出てくるﾛｰﾚﾝﾂ変換の式

x,y,z,ct という４つの要素の関係はローレンツ変換であらわされる。
座標と時間（次元を合わせるため光速度が定数でついている）

px,py,pz,Ｅ/cという４つの要素の関係のローレンツ変換も同じである。
運動量の成分とエネルギー（次元を合わせるため光速度定数で除している）

この変換は、どの慣性系でも光速不変であるという原理から帰着されて出てくる変換式なのであるが、一次変換の行列の性質から見たらという点である。

以下では相対速度を持った２つの空間座標系を比べるとき、簡潔にするためにｘ、ｙ、ｚの各座標軸の空間方向は揃えておくことにする。

ここで、速度方向は、x軸ということにして ｙやｚの成分は考えなくてよい。
特殊な空間座標の成分はx軸だけと考えると２ｘ２行列になって簡単である。


ローレンツ変換の式を2次の一次変換にして表現すると、一次変換の平面座標系のイメージがわかっていればわかりやすい。
βはv/cである。座標系の相対速さを光速で割った比である。すなわち、光速の何パーセントなのかという指標である。

運動している系の仮に棒の一方を原点に揃えたとき、棒のもう一方の端は、時間も違うし、空間座標も違うところにあるのである。

時間軸のｃｔの方も同様である。
例えば、放射性同位元素の半減期が普遍な時間を持っているとか、ボールを同じ位置で真上にあげて戻ってくる時間にしても、どういう相対速度の慣性系かで時間が違って見えるだろう。
静止系で観測するある普遍な現象のかかる時間をＴ0としたら、もうひとつの双曲線のグラフ式である。以下は一般化のためｙとzも入れた。

　（cT0）2　=（ct）2－x2－y2－z2

この時間の微分（差分デルタ）をとったりすると、時間が延びるという話も出てくる。

（cdT0）2　=（cdt）2－dx2－dy2－dz2
（cdT0）2　=（cdt）2{1－c-2 [(dx/dt)2+(dy/dt)2+(dz/dt)2]}

ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝L２　のようにｘ，ｙ，ｚ座標の3次元では足し算「このLという棒の長さはどんな向きになろうが結果は空間座標３成分の二乗の和なのである」であるが、
特殊相対論的長さは、時間軸の要素だけ負である。


ﾛｰﾚﾝﾂ変換は、
運動量ｐ(px,py,pz)とエネルギーＥの関係にも当てはまる。そのときも物質のある普遍量に対する式が出てくる。

普遍量に相当するのは静止質量である。

ｐ2＝px2＋py2＋pz2　として

(Ｅ/c)2－ｐ2＝(ｍ0ｃ)2　　もしくは　Ｅ2－（ｐc）2＝(ｍ0ｃ2)2　

静止している系で観測したときは、運動量＝０なので、静止エネルギーである。

Ｘ２－（ｃＴ）２＝Ｌ２　　　　
(Ｅ/c)2－ｐ2＝(ｍ0ｃ)2　　

双方の式は、x,ｃｔの座標　p,E/c座標　で見ると
双曲線の式である。

先に速度の合成でやったように、
行列の列ベクトルが一次変換における新座標のあたらしい軸である。
　（coshθ、sinhθ）と（sinhθ、coshθ）なのだから、
θがいろいろ変化しても直角双曲線上の終点の位置ベクトルとなるので当たり前ではあるのだが。
相対速度をいろいろかえていろんな座標系で、軸がどのような軌跡になるか見ればわかる。