１次変換と座標軸

たまたま、一次変換の慣習的には、列ベクトル採用とみてよい。
一次変換も列ベクトルを基本扱うが、単に慣習である。
行と列を入れ替えた場合（転置行列）は、積の順序が変わる。


列ベクトルであらわされる座標　=>　行列Aの列ベクトルの座標軸に置き換え

もとをデカルト座標の点（p,q）だとしたら、　ﾍﾞｸﾄﾙａ,ｂでつくる斜交座標の格子点(p,q)に移ったと見られる
具体的にはデカルト座標点(p,q)=(3,2)なら、1次変換行列をＡとしてﾍﾞｸﾄﾙ表現で、1次変換のＡ行列により平面の点が以下のような位置に移る。

例えば変換元が　（p,q）＝（3,2）なら 　　

　　　　　　　Ａ
3e_x＋2e_y　 →　3ａ＋2ｂ 　　単位ベクトルがＡの列ベクトルaとbに置換された格好になるわけだ。

3次元なら以下のようになる

デカルト座標の升目が面積１×１の正方形だったり、体積１×１×１の立方体であるのが、
新座標では平行四辺形の面積や平行六面体の体積となるとき、それは行列式がその大きさを表している。

単位ﾍﾞｸﾄﾙ（１，０）と（０，１）がAの列ﾍﾞｸﾄﾙだったら、単位行列Ｅとなる。
単位行列って、単位ベクトルを並べた行列ってことだな。
e_x 　e_y
　↓　　　↓

1次変換行列としても、変換先の座標軸であるベクトルが、e_x 、e_y だから、下記のように元の点と一致するだけである。

　　　　　　　　Ｅ
　　　3e_x＋2e_y　→　3e_x＋2e_y　

行の視点で見ても同じ、慣例的に列分割を一次変換に使っているにすぎない。
行ベクトル系に転置した行列も「同じ座標系変換」を表し、行列を転置しても行列式は同じ。
また、また余因子展開の仕方、スカラー3重積、ともに行ベクトル視点で計算しても行列式は同じ。

以下の３×３行列の積は、AXB=C　　は　２つの見方ができる。この積は、３つの座標点を同時に一次変換しているものとみる。

　行列A、　 　　 　　　　　 　　 　行列B、　　　　　　　 　 　 　 　行列C, 3行ベクトルx３列ベクトルで内積が９通り

列ベクトル視点：
行列Bの列ベクトル３つの各座標を行列Aの列ベクトルを座標軸とする点に変換、結果は、行列Cの列ベクトル
行ベクトル視点
行列Aの行ベクトル３つの各座標を行列Bの行ベクトルを座標軸とする点に変換、結果は、行列Cの行ベクトル
※行ベクトル視点の方が、流れが美しいかも、AがBを通じてCになる。

　行列式の幾何学的なイメージ
外積と高校の2次の正方行列の行列式ad-bcは似ているだろう？

ａ×ｂ= (a₂b₃-a₃b₂)e_x+(a₃b₁-a₁b₃)e_y+(a₁b₂-a₂b₁)e_z

上の各成分は、２次の正方行列、いわゆる高校で最初に習う２行２列の行列（２×２行列）の成分ａ，ｂ，ｃ，ｄで行列式を求めると「ad-bc」となるというのによく似ているんですね。
２ｘ２行列のad-bcという値は3次元に拡張した空間の中でｘｙ平面上の２つのﾍﾞｸﾄﾙの外積

2X2行列式は、斜交座表系の単位面積(平行四辺形)に変換された新しい座標系における
面積拡大縮小率に関連している。

行列式が０となるときは、一次変換後に次元が縮退（ランクが下がる）

座標軸を表すベクトル方向に独立していないものがある。（あるベクトルが別のベクトルのスカラー倍や一次結合となってしまう）
2次でも3次の場合は、外積やスカラー３重積をイメージすればわかるだろう
正方行列の列ベクトル（変換後の座標軸）に、
・０ベクトルがある。　　　　　　　　　　　　　　　　　（座標軸が１つ縮退）
・２つのベクトルで作る平行四辺形の面積が０、外積が０。（ベクトルが平行だから１つ座標軸方向の意味しか持たない、次元が縮退）　
・外積が０にならない場合、残りのベクトルとの内積が０　（3次正方行列で、ベクトルが同一平面にあるから変換後は２次元に閉じ込められて、次元縮退）

3次の場合、３つとも平行だったら1次元になるし、一平面の場合もあるし、高次の場合は、縮退程度はいくつもあるということだ。
線形代数で習うのは、変換後の次元を「行列のランク」と呼んでいるのだ。次元が縮退したらランクが下がるのだ。

ベクトルが一次独立していない。
あるベクトルが、別のベクトルの一次結合で表せてしまうということだ。次元的に軸としての意味のないベクトルが存在することになる。

２ｘ２行列　２つの列ベクトルでつくる　平行四辺形の大きさ：Ｓは

１．内積の定義から
ａ =(a,c) ，ｂ=(b,d) 　２つのﾍﾞｸﾄﾙのなす角をθとすると　　Ｓ＝|a|・|b|・sinθ　
Ｓ²＝|a|²・|b|²・sin²θ＝|a|²・|b|²（１－cos²θ）＝　|a|²・|b|²－(|a|・|b|cosθ)² 　
　|a|²・|b|²＝（a²＋ｃ²）（b²＋ｄ²）　および　　(|a|・|b|cosθ)²＝（ａ・ｂ）²＝（ab＋cd）²　　なので　　Ｓ²＝（a²＋ｃ²）（b²＋ｄ²）-（ab＋cd）²＝（ad-bc）²
∴　S＝|ad-bc|
(a,ｃ)（ｂ,ｄ）で列ベクトルから2次の正方行列Ａをつくったとき　Ａの行列式|Ａ|=ad-bcであるから、この行列式の大きさが平行四辺形の大きさである

２．三角関数の加法定理から
ａ =(a,c) ，ｂ=(b,d) 　それぞれのﾍﾞｸﾄﾙの偏角（X軸の正方向を基準にした角）を　α、β　とする


３．行列の公式で、以下の3点の性質でも、ただちにわかる。
（A)　行列の積は、行ベクトルと列ベクトルの内積である。　
（B)　行と列をいれかえた転置行列の行列式も,もとの行列と同じ値である。　 　|A|＝|^tA|　
（C)　積の行列の行列式＝それぞれの行列式の積に等しい。　　　　|^tＡ・Ａ|＝|Ａ|・|^tＡ|＝|Ａ|²　　

４．外積の定義からは、ただちに
XY平面上の成分同士の外積＝＞Z成分　YZ平面上の結果⇒X成分、ZX平面上の結果⇒Y成分

2次元のベクトル(a,ｃ)（ｂ,ｄ）を3次元で見ると、　ａ ×ｂ＝(a,ｃ,０)×（ｂ,ｄ,０）＝（０，０，ａｄ－ｂｃ）
XY面上のベクトルの外積なので、２つのベクトルでつくる平行四辺形の大きさで、Ｚ方向ベクトルとなる。
行列式ad-bcは、「２つのベクトルでできる平行四辺形の大きさ」ということがわかる（正か負か符号は別として）。


2次元での行列式の正・負はなんの違いなのか
平面に表裏があるので、一次変換の結果が、右手の親指と人さし指の付き方がそのまま変わらないのと、左手のように変わってしまうのと2通りある。そのうち、変わらないのが正だと思っておけばいい。
負になるケースでは、どちらかの手のひらを表裏をひっくり返えさないかぎり軸を合わせることはできないのである。

3次元での行列式の正・負は
「フレミングの左手の法則と同じ格好の右手で親指をｘ軸とするとｙ人指し指で、ｚが中指というのが慣習上よく使われる軸である。しかし左の方では軸の付きかたが違うことになる。空間的な構造で四面体構造のメタン形化合物に鏡面対称の２つのパターンがあるのと同様である。これが行列式の正か負を決める。右手系から左手系に違う軸の付きかたに変換されたら負である」

平行六面体の体積と3次元での行列式

ｘ、ｙ、ｚと同じ方向でa、b、c系があれば、
aとbで外積をとると、aとbの平行四辺形の大きさを持ち、四辺形の面に垂直方向のベクトルができる。
これとcとで内積をとると,平行六面体の体積である。この式は、スカラー3重積で、3次正方行列の行列式とも一致する。
この結果は、2次で平行四辺形であったのが、3次では六面体になったのである。ただし、ベクトルの軸のつきかたにより、値は負になる。

回転の行列
デカルト座標に似たもの、大きさ１で直交する座標系（正規直交系）に移す変換のひとつは、
回転の行列が代表的なものの１つである。
複素数は掛け算すると、複素平面上で偏角だけ回転させ、大きさは絶対値倍となる性質から、これと親密な関係にある。

一般的な角度θで座標軸回転を見てみると、単位円上で２つの直交ベクトルを座標軸ベクトルと想定すればいい。２つの列ベクトルは直交しているから、成分を入れ替えて一方がマイナス符号という形であるはずだ。

単位円上の点
a＝（ cosθ，sinθ）なら、直交しているﾍﾞｸﾄﾙｂはθのかわりにθ＋90度にすればよい。
b=（ cos(θ+90°)，sin(θ+90°)）--->(-sinθ,cosθ）
したがって一次変換の 2×2行列は以下で、この行列式は１（cosの２乗＋sinの２乗＝１）で、軸の関係は素直で折り返していない。

もちろん極座標と加法定理を使えば、同様に回転行列が求まる
原点からの距離ｒで偏角φの座標をθだけ回転させたら、もとの座標をｘ，ｙとしてｘ=ｒcosφ，y=ｒsinφ となる。　　
θ回転後の座標Ｘ、Ｙとすると、下記のごとく加法定理からｘ、ｙに相当する上記で整理して、ｘとｙの1次式になる。
Ｘ=ｒcos(θ＋φ)=ｒ(cosθcosφ-sinθsinφ)=cosθｒcosφ-sinθｒsinφ　
Ｙ=ｒsin(θ＋φ)=ｒ(sinθcosφ+cosθsinφ)=sinθｒcosφ+cosθｒsinφ　

ここで、ｘ=ｒcosφ，y=ｒsinφ であるから以下になる。
Ｘ=cosθ･ｘ－sinθ･y　　．．．．．．．（A)　　　
Ｙ=sinθ･ｘ＋cosθ･y　　．．．．．．．（B)

複素平面を使って回転を考えてもよい
ドモアブルの定理だ。
複素数の掛け算が偏角の加法であるということ、すなわち、絶対値１である複素数をかければ偏角だけ回転ができる。
これは、複素数の行列表現と関係してくる。回転の行列とは絶対値１の複素数と同様なのである。
ｘ＋iyという複素数なら、これは座標（ｘ、ｙ）である。これにcosθ＋i･sinθという複素数をかけるとθだけ回転させることになるから　　
ｘ、ｙ　→　X,Y　に移るとすると　座標点である（実部と虚部）がどうなるかを見る
（ｘ＋iy）×（cosθ＋i･sinθ）＝　(cosθ･ｘ－sinθ･y)＋ｉ(sinθ･ｘ＋cosθ･y）=　X　+　iY　　
ここで、実部と虚部を比較すればよい。結果（A)(B)と同じである。
Ｘ=cosθ･ｘ－sinθ･y　
Ｙ=sinθ･ｘ＋cosθ･y　

これらは、内積で表せるが、内積のかける順番の仕方で2通りの行列の形に表現される。
行ベクトルのような横書きもいいのである。
行と列を入れ替えた場合（転置行列）は、積の順序が変わる。
（ｘ、ｙ）-->（Ｘ、Ｙ）のθ回転の1次変換の式に。列ベクトルで表現しても行ベクトルで表現してもよいが、通常は列ベクトルが使われる。

下記のような式の左辺には、このように表現は両方あったほうがいい。


「互いに直交する」2つの列ﾍﾞｸﾄﾙを想定しても回転の行列の形は自然と出てくる。ただ回転ではないやつ　もいる。

以下のように　複素数は、2x2回転行列のスカラー倍と表現されうる。

少し行列式が正か負かという、とても単純な成分でできた行列を見てみよう

行列式が正となるのは、回転の行列である。0度（単位行列）、+90度、-90度、±180度
これらは座標軸の付き方が変わらない（折り返さない:平面が裏返しにならない）ものである。

90度の回転：
虚数iをかけると90度複素平面で回転するのと似ている。
二乗すると180度回転
になり、単位行列の(スカラー）－１倍で、iを二乗すると-1になるのと似ている。


複素数の表現行列とは、
単位行列（＝Eとする）, 90度回転行列（＝Iとする）の一次結合

cosθE＋sinθI　
これはオイラーの式に出てくる複素数の行列表現である。「絶対値が１で偏角θの複素数：　cosθ・１＋sinθ・ｉ　」をかけること　⇒　複素平面上でθだけ回転する。

ある複素数（２元数）に、a+biなんていう複素数を掛け算すると、この複素数の絶対値スカラー倍し偏角が加わることになるが
前に説明した２x２行列では回転の行列と同じ形をしていて、行列の積が複素数の掛け算の効果を持っている。
aE＋bI　という形の行列で、前に記載した列ベクトル同士が直交するような行列の形である。

aE＋bI　という形の行列で、行列式は複素数の絶対値であり、スカラー０は、行列式＝０のときである。
すなわち０に逆数が存在しないのと、逆行列が存在しないのと、一致している。

複素数の表現行列の固有値は。
なんと、そのまんま複素数が出るというね。

複素数（2元数）だけでなく　4元数の行列表現　それはこちらのリンクへ

合成写像の例
ある点(x,y)を　90度回転して、y軸対称をする、それはｘとｙの入れ替え（ｙ＝ｘに対称）となる。
それは一次変換の結合、すなわち行列の積をみればわかる。

±90度回転は、y=xに対称な点に移す（x､yの座標入れ替え）と似てるが、成分の一方が負になる。

三角関数の加法定理と回転の合成
φの回転行列と結合、三角関数の加法定理から、θ+φの場合になっていることがわかる。


あとで特殊相対論のローレンツ変換が一次変換行列だなんて出てくるんですが、
双曲線関数：ハイパブリックsin、cos　（coh,sinh）の成分である。
＝＞１次変換としてのローレンツ変換のリンク
行列式＝１となるような双曲線関数の行列は、右上の成分だけマイナス符号がつかないし、加法定理も正負の複号が同順で
「ひねくれた」ところがない。

複素数（2元数）だけでなく、4元数の行列表現もある
回転して、2次曲線を分類してみる　それはこちら
１次変換と特殊相対論へいきます
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