質点列を伝わる横波モデル




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概 要
 上図のように質点が並んでいるとき,$(n-1)$番目,$n$番目,$(n+1)$番目の各粒子の変位がそれぞれ$y_{n-1}$,$y_n$,$y_{n+1}$であるとき,$n$番目粒子の質量を$m$,加速度を$a_n$,各粒子間にはたらく力を$S$とすると,$n$番目粒子の運動方程式は,\[  ma_n=S\times\sin\theta_n-S\times\sin\theta_n{}' \\  \kinji S\times\tan\theta_n-S\times\tan\theta_n{}' \\  \kinji S\bun{y_{n+1}-y_n}{l}-S\bun{y_n-y_{n-1}}{l} \\   =-\bun{S}{l}(2y_n-y_{n+1}-y_{n-1}) \cdots\cdots\maru{1}\]となる。これらの運動方程式を媒質粒子の数だけ立てて,その連立方程式をルンゲ・クッタ法と呼ばれる解析法で数値解析しているのが本シミュレーションである。
 このシミュレーションは,きわめて単純化したモデルではあるが,媒質各粒子の振る舞いを力学面から解析したものであり,実際の波動の発生に近い状況を表していると考えられる。
 ただしこのモデルでは,媒質両端における無反射条件が考慮されていない。先の理論式によるシミュレーションの場合,無限に続く媒質上における理論式を元にしたシミュレーションであり,媒質境界における反射は一切ないものとしている。現実には無限に続く媒質はこの世には存在しないわけで,有限である。有限であれば必ず媒質の『端』があり,現実には境界からの反射の影響が必ずあることになる。その意味では,むしろ本シミュレーションの方が実態に近いともいえる。

詳 解
 
 上記の質点列に振動が入射してきたとして,このときこの振動がこの質点列を伝わっていく速さ$v$を求めてみよう。さらにこのことから,連続的な媒質,たとえば弦などを伝わる波の速さを推測してみよう。

 入射した振動により,各質点は周期$T$の単振動をするものとする。このとき$n$番目,$(n-1)$番目,$(n+1)$番目の各粒子の時刻$t$での変位$y_n$,$y_{n-1}$,$y_{n+1}$がそれぞれ以下のように表させるものとする。  \[ \left \{ \begin{array}{rl} & \kern -1em y_n=a\sin\bigg(\bun{2\pi}{T}t+\delta\bigg)\\ & \kern -1em y_{n-1}=a\sin\bigg\{\bun{2\pi}{T}\bigg(t+\bun{l}{v}\bigg)+\delta\bigg\} \\ & \kern -1em y_{n+1}=a\sin\bigg\{\bun{2\pi}{T}\bigg(t-\bun{l}{v}\bigg)+\delta\bigg\} \end{array} \right . \]  ここで,$l\,$は粒子間の間隔,$\delta$は初期位相である。振動が$n$の小さい方から伝わってきているとすると,$(n-1)$番目の粒子は$n$番目の粒子より$\bun{l}{v}$の時間だけ早く振動が伝わっており,振動がその分だけ先行していることになる。逆に$(n+1)$番目の粒子は$n$番目の粒子より$\bun{l}{v}$の時間だけ遅れて振動しているので,上式のように表されることになる。
 ここで, \[ y_{n-1}+y_{n+1}=a\sin\bigg\{\bun{2\pi}{T}\bigg(t+\bun{l}{v}\bigg)+\delta\bigg\}+a\sin\bigg\{\bun{2\pi}{T}\bigg(t-\bun{l}{v}\bigg)+\delta\bigg\} \\      =2a\cos\bigg(\bun{2\pi l}{Tv}\bigg)\times \sin\bigg(\bun{2\pi}{T}t+\delta\bigg)\\      =2\cos\bigg(\bun{2\pi l}{Tv}\bigg)\times y_n\cdots\cdots\maru{2} \] であるから,$n$番目粒子の運動方程式は,前記$\maru{1}$式に$y_n$,$y_{n-1}$,$y_{n+1}$を代入して,\[ ma_n=-\bun{S}{l}(2y_n - y_{n-1} - y_{n+1})\\ =-\bun{2S}{l}\bigg\{1-\cos\bigg(\bun{2\pi l}{Tv}\bigg)\bigg\}\times y_n \cdots\cdots\maru{3} \]  これが$n$番目粒子の運動方程式であり,確かに単振動の運動方程式の形になっている。
 一方各粒子は周期$T$の単振動をしているのであるから,その運動方程式は一般式として,角振動数を$\omega=\bun{2\pi}{T}$として,\[ a_n=-\omega^2\cdot y_n=-\bigg(\bun{2\pi}{T}\bigg)^2\cdot y_n \cdots\cdots\maru{4}\]と表されるはずである。$\maru{3}$と$\maru{4}$の比較より,
 ($ \cos\theta=1-2\sin^2\bun{\theta}{2}$ の公式を利用)\[ \bigg(\bun{2\pi}{T}\bigg)^2=\bun{2S}{ml}\bigg\{1-\cos\bigg(\bun{2\pi l}{Tv}\bigg)\bigg\}\\    =\bun{2S}{ml}\bigg[1-\bigg\{ 1-2\sin^2\bigg( \bun{2\pi l}{2Tv} \bigg) \bigg\} \bigg]\\   = \bun{4S}{ml}\sin^2\bigg(\bun{\pi l}{Tv}\bigg) \\ \therefore \bun{2\pi}{T}=2\kon{\bun{S}{ml}\,}\,\sin\bigg(\bun{\pi l}{Tv}\bigg)\]  ここで$v$は振動が伝わっていく速さであり,これに周期$T$を乗じた値$Tv$は,波動で言うならば1波長$\lambda$に相当する。よって質点が十分に密に詰まっているとして $l \ll \lambda=Tv$ であるならば,$\bigg(\bun{\pi l}{Tv}\bigg) \ll 1$ が言える。よって$\theta \ll 1$のとき成り立つ $\sin\theta \kinji \theta$ なる近似式を適用して,\[ \bun{2\pi}{T}=2\kon{\bun{S}{ml}\,}\,\sin\bigg(\bun{\pi l}{Tv}\bigg) \kinji 2\kon{\bun{S}{ml}\,}\,\times \bun{\pi l}{Tv} \\ \therefore v=\kon{\bun{Sl}{m}}=\kon{\bun{S}{m/l}}\]  これが,この場合の質点列を振動が伝わっていく速さとなる。
 ここで$\bun{m}{l}$は,質点間隔 $l$ 中に含まれている質点の質量ですが,質点の間隔をどんどん詰めて $l$ の値を小さくしていったと考えると,$\bun{m}{l}$ は弦のような連続体の場合の線密度に相当する量になります。よって$S$を弦の張力に相当すると考えると,よく知られた弦を伝わる横波の速さと同じ式になります。\[  弦を伝わる横波の速さ v=\kon{\bun{S}{\rho}}\quad (\rho:線密度,S:弦の張力) \]


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