「まえがき」から引用する :
本文中にも述べておいたことであるが，微分方程式をこなすこつは，2 階までの常微分方程式を十分に理解することである． 殊にわれわれは線形の 2 階常微分方程式を手掛ける頻度が多いのであるから，この解法が最も重要である． 最後の章に級数解が述べてあるが，これも筆者の苦労した箇所であって，これだけですべてを尽くしているわけではないが，やり方の大筋はつかんでいただけることと思う．
本書で扱われているのは常微分方程式の解法のみである。
章の末尾には練習問題があり、巻末には解答もある。
本書は解法がしられている常微分方程式に限って説明されているので、平易な印象を受ける。しかし、最後の「常微分方程式の級数解」の章は多少難しい。 この章ではルジャンドルの方程式とベッセルの方程式が示され、解はそれぞれルジャンドルの多項式、ベッセル関数と呼ばれることが紹介される。 ただし、あくまで級数による解法を示すための例として挙げられているにすぎず、それぞれの多項式や関数の詳しい性質まで説明されているわけではない。
本書に従って、次のルジャンドルの方程式
`(x^2-1)(d^2x)/(dx^2) + 2x(dy)/(dx) - n(n+1)y = 0` (n: 定数)
の級数解を求めよう。本書でも「練習のために各自でやってみていただきたい」と書かれていることでもある。
まず、一般解 `y` がつぎのような `x` の無限ベキ級数であらわされると仮定する。
`y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + cdots + a_rx^r + cdots`
すると、1 階微分および 2 階微分は次の形となる。
`y' = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + 4 a_4 x^3 + cdots + r a_rx^(r-1) + cdots`
`y'' = 2 a_2 + 2*3 a_3 x + 3*4a_4 x^2 + cdots + r(r-1)a_rx^(r-2) + cdots`
これら `y, y', y''` の級数をルジャンドルの方程式に代入する。 `x^r` の係数ごとにまとめよう。
定数項 : `-2a_2 - n(n+1)a_0`
`x` : `-2*3a_3 + 2a_1 -n(n+1)a_1 = -2*3a_3 - (n+2)(n-1)a_1`
`x^2` : `2a_2 - 3*4a_4 + 4a_2 - n(n+1)a_2 = -3*4a_4 - (n+3)(n-2)a_2`
`x^3` : `2*3a_3 - 4*5a_5 + 6a_3 - n(n+1)a_3 = -4*5a_5 - (n+4)(n-3)a_3`
...
`x^r` : `(r-1)ra_r - (r+1)(r+2)a_(r+2) + 2ra_r - n(n+1)a_r =-(r+1)(r+2)a_(r+2) - (n+(r+1))(n-r)a_r`
これらの係数がすべて 0 であることから、`a_0` と `a_1` が定まれば、以下順次 `a_2` 以降が定まる。
`a_2 = -(n(n+1)) / (2!) a_0`
`a_3 = -((n-1)(n+2)) / (3!) a_1`
`a_4 = -((n-2)(n+3)) / (4*3) a_2 = (n(n+1)(n-2)(n+3)) / (4!) a_0`
`a_5 = -((n-3)(n+4)) / (5*4) a_3 = ((n-1)(n+2)(n-3)(n+4)) / (5!) a_1`
ルジャンドル方程式の一般解は次のようになる。ここで、いままでの `a_0` を `c_1` で、`a_1` を `c_2` であらわす。これは、 微分方程式の積分定数を明確にするためである。
`y = c_1(1 - (n(n+1))/(2!)x^2+ (n(n+1)(n-2)(n+3))/(4!)x^4 - cdots) + c_2(x - ((n-1)(n+2))/(3!)x^3+ ((n-1)(n+2)(n-3)(n+4))/(5!)x^5 - cdots)`
ここで `n` が 0 または正の整数であれば、`y` は多項式となる。この多項式をルジャンドルの多項式と呼ぶ。
本書の p.119 では、上の多項式の係数`c_1` および `c_2` を適当に定めたものをルジャンドルの多項式とよび，`P_n(x)` で表す．
と述べている。
ここで、 適当に定める
の意味であるが、`P_n(1)=1` となるように定めている。ルジャンドルの多項式を参照。
このページの数式は MathJax で記述している。
| 書名 | 微分方程式早わかり |
| 著者 | 春日屋伸昌 |
| 発行日 | 1991 年 7 月 20 日 再販発行 |
| 発行元 | 日新出版 |
| 定価 | 1700 円（本体） |
| サイズ | A5 版 |
| ISBN | 4-8173-0124-4 |
| その他 | 草加市立図書館にて借りて読む |
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