Alan Jeffery : 数学公式ハンドブック（ポケット版）

作成日 : 2018-06-19
最終更新日 :

概要

「訳者序文」から引用する

この数学公式集は，高校数学の範囲から， 数学および物理の専門分野までの公式を幅広く網羅している．

感想

公式が羅列されているだけではなく、文章でも説明がされているのでありがたい。

この公式集の結果の一部は、下記の関連ページにある。

誤植

p.114 上から 10 行目孤の長さとあるが、正しくは《弧の長さ》だろう。

p.335 29. の公式の `F(x)` が `(s^2+a^2)^-1[s + a "csch"(pi/(2a))], "Re"{s} gt 0` となっているが、正しくは 《`(s^2+a^2)^-1[s + a "csch"((pis)/(2a))], "Re"{s} gt 0`》 と思われる。 これは、岩波 数学公式Ⅱ p.293 の表の 4 番目との照合し、 本書の結果か岩波 数学公式Ⅱの結果のどちらかが疑わしいと思い、検算した結果である。以下、計算方法を述べる。

三角関数に指数関数を乗じた積分は、 佐久間 一浩 : 特異点のこころえで計算したことがあったが、 今回はもう少し工夫した方法でやってみる。こちらの方法では部分積分が不要である。

求める積分は次のとおりである :

`int_0^oo e^(-sx)abs(cos(ax))dx = int_0^(pi/(2a))e^(-sx)cos(ax)dx + sum_(n=1)^oo (-1)^n int_(((2n-1)pi)/(2a))^(((2n+1)pi)/(2a)) e^(-sx)cos(ax)`。

ここで右辺の各項を計算するためには、被積分関数の三角関数 `cos(ax)` のかわりに複素化した三角関数 `e^(iax)` で積分を実施しその後に実部をとればいい。 すなわち、

`int_0^oo e^(-sx)abs(cos(ax))dx = "Re"{int_0^(pi/(2a))e^(-sx)e^(iax)dx + sum_(n=1)^oo (-1)^n int_(((2n-1)pi)/(2a))^(((2n+1)pi)/(2a)) e^(-sx)e(iax)}`。

複素化した積分を `I` とおくと次のようになる。

`I = 1/(ia-s)[e^(-sx)e^(iax)]_(0)^(pi/(2a)) + 1/(ia-s)sum_(n=1)^oo (-1)^n [e^(-sx)e^(iax)]_(((2n-1)pi)/(2a))^(((2n+1)pi)/(2a)) =1/(ia-s)(-1) + (2i)/(ia-s) sum_(n=1)^oo e^(-((2n-1)pi)/(2a))`。
両辺の実部を取ると次の結果が得られる。
`"Re"I = s/(s^2+a^2) + (2a)/(s^2+a^2) (e^(-pi/(2a)) * 1/(1-e^(-pi/a))) = s/(s^2+a^2) + (2a)/(s^2+a^2) 1 / (e^(pi/(2a)) * e^(-pi/(2a))) = s/(s^2+a^2) + a/(s^2+a^2) "cosech" (pi/(2a)) `。

以上から、本書に記載された 29. の公式は誤りで、岩波 数学公式Ⅱの記載が正しいと考えられる。

数式の表現ほか

数式表現はMathJax を用いている。

書誌情報

書名数学公式ハンドブック（ポケット版）
著者Alan Jeffery
監訳者柳谷 晃
訳者穴田 浩一、内田 雅克
発行日2013 年 9 月 25 日 初版 2 刷
発行元共立出版
定価3500 円 (税別)
サイズB6 版 513p.
ISBN978-4-320-11040-3
NDC410.38
その他越谷市図書館で借りて読む

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