極私的関数解析：ベールの範疇定理 |
作成日：2013-01-23 最終更新日： |
ベールの範疇定理というのは、ベールのカテゴリー定理と呼ばれることも多い。 カテゴリーのことを範疇と訳しているのだけれど、何をどのように区分するのか、という問題意識から来ている。
区分する対象は空間である。どんな空間かというと、`(X, d)` を距離空間としたときの `X` の部分集合 `A` 、すなわち、`A sub X` である。 この `A` には 2 種類しかないというのがベールの範疇定理である。 どのような基準で 2 種類と分類したのかというと、私が考えるに薄い集合と濃い集合に分類したものである。 もちろん、集合を表すときに濃いとか薄いとかはいわない。あくまで極私的な感想である。
さて、ベールの範疇定理は数学的には次のように表される。 `(X, d)` を距離空間とし、`A sub X` とする。 まず用語を定義する。`A` の閉包が内点をもたないとき、`A` は `X` のなかで希薄な集合と呼ばれる。 可算個の希薄な集合 `A_n (n = 1, 2, cdots)` があり、`A sub uuu_(n=1)^oo A_n` とあらわされるとする。 このような `A` は (`X` の) 第 1 類集合と呼ばれる。第 1 類集合ではない `A` は (`X` の) 第 2 類集合とよばれる。 この第 1 類か 第 2 類かという類を気にすることが、範疇（カテゴリー）の名前のいわれである。
私が思ったことは、第1類の集合は薄くて、第2類の集合は濃い、ということだ。
`(X, d)` を完備な距離空間とする。第1類集合と第2類集合を用いた言い方は次のとおりである。
`X` の第 1 類集合は内点を持たない。特に空でない完備距離空間は第 2 類集合である。
類を表に出さないと次のようないいかたとなる。
`X` が可算個の閉集合 `S_n sub X ( n = 1, 2, cdots)` を用いて
`X = uuu_(n=1)^oo S_n`
と表せるならば、少なくとも 1 つの `S_n` は内点を持つ。
このページの数式は MathJax で記述している。
