極私的関数解析：完備性

完備性

完備な、ということばはどういう意味か。ふつうの日本語では、「冷暖房完備」とか「バス・トイレ完備」というように使い、 形容動詞としては使わない。以下、完備の定義をする。

完備とは

距離空間 `X` が完備であるとは、`X` の任意のコーシー列が収束することをいう。

今度はコーシー列ということばが出てきた。 オーギュスタン＝ルイ・コーシー(Koŝio, Augustin Louis Cauchy)は数学者の名前である。 コーシー列（koŝia vico, Cauthy sequence) を説明する。

コーシー列とは

距離空間 `X` の点列 `{x_n}_n` が `lim_(n, m -> 0) d(x_n, x_m) = 0 ` を満たしているとする。このとき、`{x_n}_n` をコーシー列という。

`epsilon - N` 記法を使うと次のようになる。 任意の `epsilon > 0` に対して、`epsilon` に応じた自然数 `N_0` があり、すべての `m, n >=N_0` に対し、`d(x_m - x_n) < epsilon` が成り立つ。 このとき `{x_n}_n` をコーシー列という。

距離空間における完備性

完備な距離空間の例

1. `n` 次元実ユークリッド空間 `RR^n`
2. `n` 次元複素ユークリッド空間 `CC^n`

完備ではない距離空間の例

1. `QQ` を有理数全体の集合とし、`p, q in QQ` にたいして `d(p,q) = abs(p-q)` と定めると `QQ` は距離空間であるが、完備ではない。

ノルム空間における完備性

完備な距離空間の例

1. ノルム空間 `l^p ( 1 <= p < oo)`
2. ノルム空間 `l^oo`

数式記述

このページの数式は MathJax で記述している。

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