極私的関数解析：距離空間

距離空間

距離空間(エスペラント metrika spaco, 英語 metric space)とは、 距離関数（きょりかんすう）と呼ばれる非負実数値関数が与えられている集合のことである。 集合が同じでも、何種類もの距離が考えられる。

定義

定義は次の通りである。
集合 `X` 上で定義された 2 変数の実数値関数を `d` とする。すなわち、
`d : X xx X -> RR`
任意の `x, y, z in X ` が次の性質を満たすとき、`d` は `X` 上の距離関数あるいは単に距離であるといい、対 `(X, d)` を距離空間という。

• 非負性：`d(x, y) >= 0`
• 非退化性：`x = y <=> d(x, y) = 0`
• 対称性：`d(x, y) = d(y, x)`
• 三角不等式：`d(x, y) + d(x, z) >= d(x, z)`

距離空間の例

`RR^n` とユークリッド距離

`n` 次元ベクトル空間 `RR^n` の元（点）を `x, y`とし、`x = (x_1, cdots, x_n), y = (y_1, cdots, y_n)` とする。 `x` と `y` の距離を `d_2(x, y) = sqrt(sum_(i=1)^n (x_i - y_i)^2` で定めると、 `(RR^n, d_2)` は距離空間である。

ある距離空間から新しい距離空間を作る

距離空間 `(X, d)` が与えられたとする。このとき、任意の点 `x, y in X` に
`tilde(d) (x, y) := (d (x, y)) / (1 + d(x, y))`
を定義すれば、`(X, tilde(d))` は新しい距離空間となることがわかる。また、`X` は新しい距離 `tilde(d)` の下で有界となる。

点列の収束

距離空間 `(X, d)` における点列の収束を定義する。 `{x_n}_n` を `X`の点列、`x_0 in X` とするとき、 `x_n` が `x_0` に収束するとは、`n -> oo` のとき、`d(x_n, x_0) -> 0` となることをいう。 このことを記号では `x_n -> x_0` や `lim_(n->0) x_n = x_0` で表し、`x_0` を `x_n` の極限という。

なお、点列 `{x_n}_n` の記号に似た `(a_n)_n` という記号もある。こちらは、数列（実数列、複素数列など）に対して使う。

ε 近傍、開球

`(X, d)` を距離空間、`x in X, epsilon > 0` とするとき、`X` の部分集合 `B(x, epsilon) := {y in X | d(x,y) < epsilon}` を `x` の ε-近傍（エスペラント ε-ĉirkaŭaĵo、英語 ε-neighborhood ）、または中心 `x`,半径 `epsilon > 0` の（距離 `d` に関する） 開球(エスペラント malfermita globo, 英語 open ball) と呼ぶ。 両者の使い分けだが、通常は近傍ということばを使い、開集合であることを強調したい時に開球というようだ。

なお、ある数学の本では「近傍」という日常的にも意味のある言葉といっている。日常的な意味はあるのだろうが、 少なくとも日常的に使うことばではない。英語の neighborhood は「ご近所」の意味でごく普通に使い、また意味もはっきりしていることばである。

内点と内部、開集合

内点

`A sub X, x in A` とする。`epsilon > 0` を十分小さく選ぶと `B(x, epsilon) sub A` となるとき、 `x` は `A` の内点（エスペラント interna punkto 、英語 inner point または interior point ）であるという。

内部

`A` の内点全体の集合を `A` の内部（エスペラント　malfermaĵo または interno、英語 interior） または開核（英語 open kernel）といい、`sf(Int) A` または `A^@` で表す。

開集合

`A sub X` が `A = sf(Int) A` を満たすとき `A` は開集合 (エスペラント malfermita aro 、英語 open set)であるという。

集積点と閉包、閉集合、閉球

集積点

`A sub X, x in A` とする。任意の `epsilon > 0` に対して `B(x, epsilon) nn A != O/` となるとき、 `x` は `A` の集積点または触点（エスペラント adhera punkto 、英語 adherent point）であるという。

閉包

`A` の集積点全体の集合を `A` の閉包（エスペラント　adheraĵo または fermaĵo、英語 closure ） といい、`A^-` または `bar(A)` で表す。

閉集合

`A sub X` が `A = bar(A)` を満たすとき `A` は閉集合 (エスペラント fermita aro 英語 closed set)であるという。

閉球

開集合に開球があるように、閉集合にも閉球がある。 `(X, d)` を距離空間、`x in X, epsilon > 0` とするとき、`X` の部分集合 `bar B(x, epsilon) := {y in X | d(x,y) <= epsilon}` を、 中心 `x`,半径 `epsilon > 0` の（距離 `d` に関する） 閉球(エスペラント fermita globo, 英語 closed ball) と呼ぶ。

数式の記述

このページの数式は MathJax で記述している。

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