極私的関数解析：距離空間

距離空間

距離空間(metrika spaco, metric space)とは、 距離関数（きょりかんすう）と呼ばれる非負実数値関数が与えられている集合のことである。 集合が同じでも、何種類もの距離が考えられる。

定義

定義は次の通りである。
集合 `X` 上で定義された 2 変数の実数値関数を `d` とする。すなわち、
`d : X xx X -> RR`
任意の `x, y, z in X ` が次の性質を満たすとき、`d` は `X` 上の距離関数あるいは単に距離であるといい、対 `(X, d)` を距離空間という。

• 非負性：`d(x, y) >= 0`
• 非退化性：`x = y <=> d(x, y) = 0`
• 対称性：`d(x, y) = d(y, x)`
• 三角不等式：`d(x, y) + d(x, z) >= d(x, z)`

距離空間の例

`RR^n` とユークリッド距離

`n` 次元ベクトル空間 `RR^n` の元（点）を `x, y`とし、`x = (x_1, cdots, x_n), y = (y_1, cdots, y_n)` とする。 `x` と `y` の距離を `d_2(x, y) = sqrt(sum_(i=1)^n (x_i - y_i)^2` で定めると、 `(RR^n, d_2)` は距離空間である。

ある距離空間から新しい距離空間を作る

距離空間 `(X, d)` が与えられると、任意の点 `x, y, in X` に
`tilde(d) (x, y) := (d (x, y)) / (1 + d(x, y))`
を定義する。`(X, d)` は新しい距離空間となり、`X` は新しい距離 `tilde(d)` の下で有界となる。

数式の記述

このページの数式は MathJax で記述している。

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