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基本行列elementary matrixの性質　　

[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-46);斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.3(pp.6-7)。]
(舞台設定)
K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
A：体K上の(m,n)型行列　
Pn ( i, j, ci,j )：体K上のn次基本行列type 1　　　　　
　　　　　　　・j<i　である場合の基本行列Pn ( i, j, ci,j )の例
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　・i<j　である場合の基本行列Pn ( i, j, ci,j )の例
　　　　　　　　　　　


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(本題1)　　
　体K上の(m,n)型行列Aに、右からn次基本行列type 1: Pn ( i, j, ci,j )をかけると、
　(m,n)型行列Aに列基本変形type1を施したことになる。　
※なぜ？　　　
　・j<i　である場合　　
　　　　　
　　　　　
　　　　
　　であるから、　
　　A Pn ( i, j, cij )　　　　　　
　　　　　
　　　　　　　∵行列積の定義　
　・i<j　である場合　　
　　　　
　　　　
　　であるから、　
　　A Pn ( i, j, cij )　　　　　　
　　　　
　　　　　　　∵行列積の定義　

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(本題2)　　
　体K上の(m,n)型行列Aに、左からm次基本行列type 1：Pm ( i, j, ci,j )をかけると、　　
　(m,n)型行列Aに行基本変形type1を施したことになる。　　
※なぜ？　　　　
　・j<i　である場合　　
　　　　　
　　　　　
　　であるから、　
　　Pm ( i, j, cij ) A 　　　　　　　
　　　　　
　　　　　　∵行列積の定義　
　・i<j　である場合　　
　　　　
　　　　
　　であるから、　
　　Pm ( i, j, cij ) A 　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　　∵行列積の定義　

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(本題3)　　
　n次基本行列type 1：Pn ( i, j, ci,j )は正則行列。その逆行列は、n次基本行列type 1：Pn ( i, j,−ci,j )。　
※本当？　　
Pn ( i, j, ci,j )の左からPn ( i, j,−ci,j )をかけても、Pn ( i, j, ci,j )の右からPn ( i, j,−ci,j )をかけても、
単位行列となることを示す。　　
・j<i　である場合　　
　Pn ( i, j, −ci,j )Pn ( i, j, ci,j ) 　　
　　　
　　　　　∵行列積の定義　
　　=In　　　∵体の性質より、-cij+cij=0　　　　　
　Pn ( i, j, ci,j ) Pn ( i, j, −ci,j ) 　　
　　　
　　　　　∵行列積の定義　
　　=In　　∵体の性質より、cij-cij=0　　
・i<j　である場合　　
　Pn ( i, j, −ci,j ) Pn ( i, j, ci,j ) 　　
　　　
　　　　∵行列積の定義　　
　　=In　　　∵体の性質より、cij-cij=0　　　
　Pn ( i, j, ci,j ) Pn ( i, j, −ci,j )　　
　　
　　　　∵行列積の定義　
　　=In　　　　∵体の性質より、-cij+cij=0　 　

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