（3） ボールの発射角は（1）によって一意的に決まるが，天井の高さによって，ボールＰが上昇中に天井にぶつかるのか，落下中にぶつかるのかによって，天井の高さと比較すべきＰの最高点の高さが，Ｐ・Ｑの衝突点の高さなのか，あるいはＰの放物運動における最高点なのか，の場合分けが必要になってくる。
◎ 解説・解答：
（1）時刻 $t$ における位置 $(x_\mathrm{P}, \,y_\mathrm{P})$ ， $(x_\mathrm{Q}, \,y_\mathrm{Q})$ は，\[\mathrm{P:} \left \{ \begin{array}{rl} & \kern-1em x_\mathrm{P} = v_0 \cos\theta \,\cdot t \cdots\cdots\maru{1} \\ & \kern-1em y_\mathrm{P} = v_0 \sin\theta \,\cdot t - \bun{1}{2}g \, t^2 \cdots\cdots\maru{2} \end{array} \right . \] \[\mathrm{Q:} \left \{ \begin{array}{rl} & \kern-1em x_\mathrm{Q} = l \cdots\cdots\maru{3}\\ & \kern-1em y_\mathrm{Q} = h_0 - \bun{1}{2}g\,t^2 \cdots\cdots\maru{4} \end{array} \right . \] 衝突とは，衝突時にＰ，Ｑの位置座標が一致すること，つまり $x_\mathrm{P}= x_\mathrm{Q}$ ， $y_\mathrm{P}= y_\mathrm{Q}$ となること。よって，衝突時刻を $t_0$ とすると，\[ \left \{ \begin{array}{rl} & \kern-1em x_\mathrm{P}= x_\mathrm{Q} \quad \Rightarrow \quad v_0\cos\theta \,\cdot t_0 = l\cdots\cdots\maru{5} \\ & \kern-1em y_\mathrm{P}= y_\mathrm{Q} \quad \Rightarrow \quad v_0 \sin\theta \,\cdot t_0 - \bun{1}{2}g \, t_0{}^2 = h_0 - \bun{1}{2}g\,t_0{}^2 \\ & \kern 3em \quad\quad\therefore v_0 \sin\theta \,\cdot t_0 = h_0 \cdots\cdots\maru{6} \end{array} \right . \\ \maru{6} \div \maru{5} より， \underline{\tan\theta=\bun{h_0}{l}} \\ \therefore \sin\theta = \bun{\tan\theta}{\kon{1+\tan^2\theta}} = \bun{h_0}{\kon{l{}^2 + h_0{}^2}} ，\\ \cos\theta = \bun{1}{\kon{1+\tan^2\theta}} = \bun{l}{\kon{l{}^2 + h_0{}^2}} \\ \therefore \maru{5} より，衝突時刻 \, t_0=\bun{l}{v_0\cos\theta}= \bun{\kon{l{}^2 + h_0{}^2}}{v_0} \cdots\cdots\maru{7} \] また衝突点の高さを $Y$ とすると， $t=t_0$ で $Y = y_\mathrm{P}= y_\mathrm{Q}$ ゆえ，\[Y = y_\mathrm{Q} = h_0 - \bun{1}{2}gt_0{}^2 \\ \quad\quad\quad = h_0 - \bun{1}{2}g \bigg(\bun{\kon{l{}^2 + h_0{}^2}}{v_0} \bigg)^2 \cdots\cdots\maru{8} \] 衝突は空中で起きなければならないので， $Y \ge 0$ でなければならない。\[ Y = h_0 - \bun{1}{2}g \bigg(\bun{\kon{l{}^2 + h_0{}^2}}{v_0} \bigg)^2 \ge 0 \\ \therefore \underline{v_0 \ge \kon{\bun{g(l{}^2 + h_0{}^2)}{2h_0}}} \cdots\cdots\maru{9}\] (2) 衝突時 $t=t_0$ におけるＰの鉛直方向の速度成分 $v_{\mathrm{P},y}$ は，\[ v_{\mathrm{P},y}=v_0\sin\theta - g \,t_0 \\ \quad\quad = v_0\bun{h_0}{\kon{l{}^2 + h_0{}^2}} - g\bun{\kon{l{}^2 + h_0{}^2}}{v_0} \cdots\cdots\Maru{10} \] Ｐが水平に衝突するということは，衝突時 $t=t_0$ におけるＰの鉛直方向の速度成分 $v_{\mathrm{P},y}$ が$0$ になっているということ。よってこのときの $v_0$ の値を $w_0$ とすると， $\maru{9}$ 式の $v_0$ を $w_0$ としたとき $0$ になるとおいて，\[ v_{\mathrm{P},y}= w_0\bun{h_0}{\kon{l{}^2 + h_0{}^2}} - g\bun{\kon{l{}^2 + h_0{}^2}}{w_0} = 0 \\ \therefore \underline{w_0 = \kon{\bun{g(l^2 + h_0{}^2)}{h_0}}} \cdots\cdots\Maru{11}\] さらにこのときの衝突高度 $Y_0$ は，$\maru{8}$ 式の衝突高度 $Y$ の式中の $v_0$ を上記 $w_0$ に置き換えて，\[Y_0 = h_0 - \bun{1}{2}g \bigg(\bun{\kon{l{}^2 + h_0{}^2}}{w_0} \bigg)^2 \\ \quad = h_0 - \bun{1}{2}g \bigg(\kon{\bun{h_0}{g}} \bigg)^2 \\ \quad = \underline{\bun{h_0}{2}} \cdots\cdots\Maru{12} \]
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