加速する前のロケット本体の運動エネルギーは $\overrightarrow {V_{0}} $ を用いると $\waku{2}$ であり，加速後のロケット本体の運動エネルギーは $\overrightarrow {V_{1}} $ を用いると $\waku{3}$ である。したがって，運動エネルギーの変化は $\overrightarrow {V_{0}} $ と $\overrightarrow {v} $ を用いると $\waku{4}$ である。
さて，半径 $R$ ，質量 $M_\mathrm{G}$ の球形物体と質量 $M$ （ただし $M \ll M_\mathrm{G}$ ）の質点の間に働く万有引力 $F$ は，万有引力定数を $G$ ，球形物体の中心から質点までの距離を $r$ （ただし $r \gt R$ ）とすれば， $F=\waku{5}$ である。したがって，万有引力は無限遠方まで作用し，質点 $M$ は球形物体から逃げ出せないように思えるが，実際は違う。 $r$ が無限大のとき位置エネルギーがゼロになるように位置エネルギーの基準を選べば，球形物体と質点間の位置エネルギー $U$ は，両者の距離が $r$ のとき， $U=\waku{6}$ である。したがって，球形物体に対する質点の相対速度を $\overrightarrow {V} $ とおくと， $|\overrightarrow {V}| \ge \waku{7}$ のとき，質点 $M$ は球形物体から離れて無限遠方へ行くことができる。このための最小速度を脱出速度という。地表の重力加速度を $10\mathrm{m/s^2}$ ，地球の半径を $6400\mathrm{km}$ とすれば，地表での脱出速度は， $\waku{8}$ である。
問
星Ｓは未知の星であり，質量や半径に関する正確な値はわかっていない。そこで，ロケットに乗って未知の星Ｓの探索に向かった。このとき，ごくわずかしか残っていないのに，ロケットが脱出速度以下で星Ｓに向かって航行している可能性があることがわかった。このままでは星Ｓの引力に捕獲されてしまうかもしれない。 わずかな望みを託して星Ｓの引力からの脱出を試みるとき，下記の中で成功する可能性が最も高い方法と，失敗する可能性が最も高い方法を選び，理由を付けて説明せよ。ただし，星Ｓの半径は小さいので，ロケットが星Ｓに衝突する可能性は無視できるとする。
$\maru{1}$ ．何もしないでそのまま星Ｓの引力に従う。
$\maru{2}$ ．ロケットの向きはそのままで，直ちに燃焼ガスを噴射する。(図１）
$\maru{3}$ ．直ちにロケットの向きを90度回転させて，燃焼ガスを噴射する。(図２）
$\maru{4}$ ．直ちにロケットの向きを180度回転させて，燃焼ガスを噴射する。(図３）
$\maru{5}$ ．星Ｓに十分接近するのを待って，ロケットの向きはそのままで，燃焼ガスを噴射する。
$\maru{6}$ ．星Ｓに十分接近するのを待って，ロケットの向きを90度回転させ，燃焼ガスを噴射する。
$\maru{7}$ ．星Ｓに十分接近するのを待って，ロケットの向きを180度回転させ，燃焼ガスを噴射する。
【答】
１. $\overrightarrow {V} _{0} + \bun{m}{M} \overrightarrow {v} $
２. $\bun{1}{2} M |\overrightarrow {V} _{0}|^2 $
３. $\bun{1}{2} M |\overrightarrow {V} _{1}|^2 $
４. $m(\overrightarrow {V} _{0}\cdot \overrightarrow {v} ) + \bun{m^2}{2M} |\overrightarrow {v} |^2 $
５. $G\bun{M_\mathrm{G}M}{r^2}$
６. $-G\bun{M_\mathrm{G}M}{r}$
７. $\kon{\bun{2GM_\mathrm{G}}{r}}$
８. $1.1\times 10^4\mathrm{m/s}$
問. 成功する可能性が高い方法： $\maru{5}$
失敗する可能性が高い方法： $\maru{7}$
問題 解説