以下，慶応大学医学部の問題の概要に沿って話を進めていきます。
速度 $\overrightarrow {V_{0}} $ で運動している質量 $(M + m)$ のロケットから質量 $m$ のガスを瞬間的に放出したとします。このときの静止系に対するガスの速度を $\overrightarrow {V} _{0} - \overrightarrow {v} $ とします。ここで，$ - \overrightarrow {v} $ はガスの，噴射前のロケットから見たガスの相対速度です。
ガス噴射後のロケットの速度を $\overrightarrow {V} $ とすると，運動量保存則より，
\[(m + M)\overrightarrow {V_{0}} = M\overrightarrow {V} + m(\overrightarrow
{V_{0}} - \overrightarrow {v} ) \\ \kern-1em \therefore \overrightarrow {V} = \overrightarrow
{V_{0}} + {\bun{{m}}{{M}}}\overrightarrow {v} \]
よって，ガス噴射によるロケットの運動エネルギーの増加 $\Delta E$ は，
\[\kern-2em \Delta E = \bun{1}{2} M \big(\overrightarrow {V} \big)^2 - {\bun{{1}}{{2}}}M \big(\overrightarrow {V_{0}} \big)^{2} \\ = {\bun{{1}}{{2}}}M \big( \overrightarrow {V_{0}} + {\bun{{m}}{{M}}}\overrightarrow {v} \big)^{2} - {\bun{{1}}{{2}}}M \big(\overrightarrow {V_{0}} \big)^{2} \\
= m \big(\overrightarrow {V_{0}} \cdot \overrightarrow {v}\big) + {\bun{{m^{2}}}{{2M}}} \big(\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {v}\big) \\
= m \big( \overrightarrow {V_{0}} \cdot \overrightarrow {v}\big) + {\bun{{m^{2}}}{{2M}}}{\left| {\overrightarrow {v}}
\right|}^{2} \cdots\cdots\maru{1}\]と表されます。
ここで $\big( \overrightarrow {V_{0}} \cdot \overrightarrow {v}\big)$ は，ベクトル $\overrightarrow {V_{0}}$ と $\overrightarrow {v}$ の内積（スカラー積）を表し，両ベクトルの平行成分同士の積の和になります。
一方，質量 $M_{G}$ の天体（本問では星Ｓがこれに相当する）と質量 $M$ の物体（本問ではロケット）が距離 $r$ 離れた位置にあるとき，その位置エネルギー $U$ は，無限遠方を基準として，\[U = - {\bun{{GM_\mathrm{G}M}}{{r}}}\]なので，星Ｓから距離 $r$ の位置をロケットが速度 $\overrightarrow {V} $ で運動しているときのロケットの力学的エネルギーは，\[E = {\bun{{1}}{{2}}}M \overrightarrow {V} \cdot \overrightarrow {V} - {\bun{{GM_\mathrm{G} M}}{{r}}}\]となります。
ロケットが星Ｓの引力圏から脱出するためには，無限遠方での運動エネルギーが０以上でなければならないので，無限遠方での速度を $\overrightarrow {V_{\infty}}$ とすると，力学的エネルギー保存則より，\[ \kern -1em E = {\bun{{1}}{{2}}}M\overrightarrow {V} \cdot \overrightarrow {V} - {\bun{{GM_\mathrm{G} M}}{{r}}} \\ = {\bun{{1}}{{2}}}M\overrightarrow {V_{\infty}} \cdot \overrightarrow {V_{\infty}} - {\bun{{GM_\mathrm{G} M}}{{\infty}} } \\ = {\bun{{1}}{{2}}}M\overrightarrow {V_{\infty}} \cdot \overrightarrow {V_{\infty}} \ge 0 \\
\kern-1em \therefore \color{red}{{\left| {\overrightarrow {V_{}}} \right|} \ge \kon {{\bun{{2GM_\mathrm{G} }}{{r}}}}} \]
これが星Ｓから距離 $r$ の位置にあるとき引力圏から脱出するための速度の条件式（脱出速度）です。
つまり，引力圏から脱出するためには，ロケットの力学的エネルギー $E$ が０以上にならなければならないわけで，このことは先の解説で述べたとおりです。
◎効果的なガス噴射の向きと位置：
ロケットが星Ｓの引力圏から脱出できないということは，ロケットの力学的エネルギーが $E \lt 0$ ということであり，これをガス噴射によって０以上にできれば脱出可能となります。そして効率良くエネルギーを増やすには，先に述べた $\Delta E$ ができるだけ大きな値になればよいわけですが，その条件を考える問題ということになります。
そこでまず，ガス噴射の向きについて考えてみましょう。
$\maru{1}$ 式で述べた $\Delta E$ 中に出てくる $ \big(\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {V_{0}}\big) $ は$\overrightarrow {v}$ ベクトルと $\overrightarrow {V_{0}} $ ベクトルの内積，したがって平行成分同士の積の和でしたから，\[
\kern-2em \overrightarrow {v} と \overrightarrow {V_{0}} が
\left \{ \begin{array}{rl}
& \kern-1em 直角をなす → \overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {V_{0}} = 0 \\
& \kern-1em 平行で同じ向き → \overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {V_{0}} = + \max \\
& \kern-1em 平行で逆向き → \overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {V_{0}} = - \max
\end{array} \right . \]となります。
ここで，$ - \overrightarrow {v}$ はガスの，噴射前のロケットから見たガスの相対速度ですから，ロケット後方にガスを噴射した場合は $ - \overrightarrow {v} $ は$\overrightarrow {V} _{0} $ と逆向き，つまり $\overrightarrow {v} $ と $\overrightarrow {V} _{0} $ は同じ向きとなり，ロケット前方にガスを噴射した場合は $ - \overrightarrow {v} $ は $\overrightarrow {V} _{0} $ と同じ向き，つまり $\overrightarrow {v} $ と $\overrightarrow {V} _{0}$ は互いに逆向きとなります。したがって『そのままの向きでガス噴射』は前者の「後方噴射」の場合に相当するので $\Delta E$ は最大となり，『１８０度向きを変えてガス噴射』の場合は後者の「前方噴射」の場合に相当し $\Delta E$ は最小となってしまいます。また『９０度向きを変えてガス噴射』はその中間…ということになります。
では次にガス噴射をする位置について考えましょう。
$\Delta E$ をなるべく大きくするには， $\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {V_{0}} $ が正でなるべく大きければよいわけですが， $\overrightarrow {v}$の値は決まっているので， $\overrightarrow {V_{0}} $の値がなるべく大きくなる位置でガスを噴射するのがよいことになります。
ロケットは星Ｓの引力を受けているのですから，星Ｓに近づくほど加速されていきます。したがって $\overrightarrow {V_{0}} $ が最大になる位置は，星Ｓに最接近した位置です。この瞬間にガス噴射をし， $\overrightarrow {v} $ と $\overrightarrow {V_{0}} $ が同じ向きなら $\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {V_{0}} $ は正で最大となり，力学的エネルギーは最も増大します。逆に $\overrightarrow {v} $ と $\overrightarrow {V_{0}} $ が逆向きなら $\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {V_{0}} $ は負に最大となり，エネルギーの獲得は最も小さく，条件によっては（ $\overrightarrow {|V_{0}}| \gt \bun{m}{2M}|\overrightarrow {v}| $ の場合）エネルギーを最も大きく失うことになります。
以上より，最接近したときの後方噴射が引力圏脱出の可能性が最も高く，最接近したときの前方噴射が最も可能性が低いということになります。
慶大医学部の入試問題