制約のある正規分布モデル

作成日：2009-05-01
最終更新日：

あるデータが、所与の正規分布にあてはまるか否かを判定する。

例題：ある板状の製品は、機械が正常な場合、厚さの測定結果が平均 1cm 、標準偏差 0.01cm の正規分布に従い生産されることがわかっている。あるとき、20 個の製品を無作為に取り出して厚さを測定したところ、次のデータが得られた。機械は正常といえるか。

0.999 1.013 0.974 0.993 0.989
1.001 1.008 1.003 0.989 1.009
1.001 0.977 1.023 0.994 0.988
1.005 1.006 0.995 1.003 1.027

答：「コピー」ボタンをクリックすると、上記例が左下の欄に入力される。「計算」ボタンをクリックすると、右の欄にAICが表示される。最もAICの低いモデル、すなわち最もよいモデルは、 (μ₀, σ²)であることがわかる。これは、平均は正常データに等しいが、標準偏差が正常データとは異なる、という結果がもっともらしいということだ。すなわち、機械は異常である、といえる。

モデル	制約	自由パラメータ数
(μ₀, σ₀²)	μ =μ₀ σ² = σ₀²	0
(μ₀, σ²)	μ =μ₀	1
(μ, σ₀²)	σ² =σ₀²	1
(μ,σ²)	−	2

平均

標準偏差

データ

式は次のようになります。

AIC (μ_{0}, {σ_{0}}^{2}) = n [\log 2 π + \log {σ_{0}}^{2} + \frac{1}{{σ_{0}}^{2}} {{(μ_{0} - \hat{μ})}^{2} + {\hat{σ}}^{2}}]

AIC (μ_{0}, σ^{2}) = n [\log 2 π + \log {{(μ_{0} - \hat{μ})}^{2} + {\hat{σ}}^{2}} + 1] + 2

AIC (μ, {σ_{0}}^{2}) = n [\log 2 π + \log {σ_{0}}^{2} + \frac{{\hat{σ}}^{2}}{{σ_{0}}^{2}}] + 2

AIC (μ, σ^{2}) = n [\log 2 π + \log {\hat{σ}}^{2} + 1] + 4

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MARUYAMA Satosi