制約のある正規分布モデル

あるデータが、所与の正規分布にあてはまるか否かを判定する。この場合は、AIC を用いる方法が簡便であると考えられるので、まず AIC を利用した解法を示す。ついで、 このデータの分散 `sigma^2` が既知でありかつ所与の正規分布のパラメータと同じ場合には従来からの検定法である z 検定が使える。こちらについては準備中である。

なお、比較の対象となるのが所与の正規分布ではなく別のデータである場合は、条件付きモデルを参照してほしい。

AIC を利用した解法

例題：ある板状の製品は、機械が正常な場合、厚さの測定結果が平均 1cm 、標準偏差 0.01cm の正規分布に従い生産されることがわかっている。 あるとき、20 個の製品を無作為に取り出して厚さを測定したところ、 次のデータが得られた。機械は正常といえるか。

0.999 1.013 0.974 0.993 0.989
1.001 1.008 1.003 0.989 1.009
1.001 0.977 1.023 0.994 0.988
1.005 1.006 0.995 1.003 1.027

答：「コピー」ボタンをクリックすると、上記例が左下の欄に入力される。 「計算」ボタンをクリックすると、右の欄にAICが表示される。 最もAICの低いモデル、すなわち最もよいモデルは、 (μ₀, σ²)であることがわかる。 これは、平均は正常データに等しいが、標準偏差が正常データとは異なる、という結果が もっともらしいということだ。すなわち、機械は異常である、といえる。

式は次のようになる。

`AIC(mu_0, sigma_0^2) = n[log 2pi + log sigma_0^2 + 1 / sigma_0^2 {(mu_0 - hat(mu))^2 + hat(sigma)^2}]`
`AIC(mu_0, sigma^2) = n[log 2pi + log{(mu_0 - hat(mu))^2 + hat(sigma)^2} + 1] + 2`
`AIC(mu, sigma_0^2) = n[log 2pi + log sigma_0^2 + hat(sigma)^2/(sigma_0^2)] + 2`
`AIC(mu, sigma^2) = n[log 2pi + log hat(sigma)^2 + 1] + 4`

`z` 検定を利用した解法

（準備中）

数式

数式表現には MathJax を用いている。 以前は mathml を用いていた。

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