制約のある正規分布モデル

あるデータが、所与の正規分布にあてはまるか否かを判定する。

例題：ある板状の製品は、機械が正常な場合、厚さの測定結果が平均 1cm 、標準偏差 0.01cm の正規分布に従い生産されることがわかっている。 あるとき、20 個の製品を無作為に取り出して厚さを測定したところ、 次のデータが得られた。機械は正常といえるか。

0.999 1.013 0.974 0.993 0.989
1.001 1.008 1.003 0.989 1.009
1.001 0.977 1.023 0.994 0.988
1.005 1.006 0.995 1.003 1.027

答：「コピー」ボタンをクリックすると、上記例が左下の欄に入力される。 「計算」ボタンをクリックすると、右の欄にAICが表示される。 最もAICの低いモデル、すなわち最もよいモデルは、 (μ₀, σ²)であることがわかる。 これは、平均は正常データに等しいが、標準偏差が正常データとは異なる、という結果が もっともらしいということだ。すなわち、機械は異常である、といえる。

式は次のようになる。

`AIC(mu_0, sigma_0^2) = n[log 2pi + log sigma_0^2 + 1 / sigma_0^2 {(mu_0 - hat(mu))^2 + hat(sigma)^2}]`
`AIC(mu_0, sigma^2) = n[log 2pi + log{(mu_0 - hat(mu))^2 + hat(sigma)^2} + 1] + 2`
`AIC(mu, sigma_0^2) = n[log 2pi + log sigma_0^2 + hat(sigma)^2/(sigma_0^2)] + 2`
`AIC(mu, sigma^2) = n[log 2pi + log hat(sigma)^2 + 1] + 4`

数式

数式表現には MathJax を用いている。 以前は mathml を用いていた。

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