平均値の差の検定

作成日：2004-08-24
最終更新日：

２つのデータ群があるとき、平均値に差があるかどうかを調べる。 AIC を用いる方法が簡便だが、t分布およびF分布を利用した手法をここで述べる。

例：群1はあるWebページの１日あたりのアクセス数（１０日間）のデータである。このWebページを変更した後で、同様に１日あたりのアクセス数を9日間調べた。このときの１日あたりのアクセス数のデータを群2とした。そのときの結果は次の通りである。アクセスは変わったと言えるか。 5%水準で検定せよ。

ここで群iに関する平方和S_i とは、群iに属するk番めのデータをx_i[k](k = 1 .. n_i)とすれば次の式で表される

`S_i = sum_k (x_i[k] - mu_i)^2 `

答：次の手順で求められる。

平均値の差に関する帰無仮説H₀および対立仮説H₁は次のとおりである。

H₀：μ₁ ＝μ₂
H₁：μ₁ ≠ μ₂

この場合は、既に２群の間で分散に大きな差はないことがわかっている分散の違いの検定で計算すればよい。ここでは既に上記の検定は終わっているものして、これから述べる方法で平均値の差の検定を行なう。次のように記法を定義する。

プールした不偏分散uは次で定義される。

u = (S₁ + S₂) / (n₁ + n₂ + 2)

この S を用いて、次のt₀を計算する。

t₀ = |x~₁ - x~₂|/ C
ただし、
`C = S sqrt(1/n_1 + 1/n_2)`

このt₀がt分布の5%点を上回っていれば、有意水準５％で有意差があると判定する。 t₀がt分布の1%点を上回っていれば、有意水準１％で有意差があると判定する。

以下は、JavaScript で計算を行なう場合のフォームである。初期状態では上記の値が入っている。「計算」のボタンを押すと、 t分布の1%点と5%点を計算する。本例の場合、t₀ = 2.504 は5%点の値 2.110 より大きい。従って、有意水準5%で平均値の差は有意である。

注意

自由度φに対するt分布の1%点と5%点は次のように計算している。まず1〜30までは直接表から検索する。 31〜100までは、30から10おき、100までのt分布の1%点と5%点を線形補間している。 101以上は、100,120,∞におけるt分布の1%点と5%点を分数式で補間している。

表記

ASCIIMath を使っている。

MARUYAMA Satosi