分散の違いの検定

２つのデータ群があるとき、分散に違いがあるかどうかを調べる。 AIC を用いる方法が簡便だが、F分布を利用した手法をここで述べる。

例：群1はあるWebページの１日あたりのアクセス数（１０日間）のデータである。 このWebページを変更した後で、同様に１日あたりのアクセス数を9日間調べた。このときの １日あたりのアクセス数のデータを群2とした。 そのときの結果は次の通りである。分散（バラツキ）に違いがあるといえるか

ここで群iに関する平方和 `S_i` は下記の式で表される

`S_i = sum_k (x_i[k] - mu_i)^2`

ただし、`x_i[k] ( k = 1, ..., n_i )`は、 群 `i` に属する `k` 番めのデータを表す。

答：次の手順で求められる。

分散の違いに関する帰無仮説H₀および対立仮説H₁は次のとおりである。

`H_0 : sigma_1^2 = sigma_2^2`
`H_0 : sigma_1^2 != sigma_2^2`

次のように記法を定義する。

以下は、JavaScript で計算を行なう場合のフォームである。 初期状態では上記の値が入っている。「計算」のボタンを押すと、 F分布によりパーセント点を計算する。 本例の場合、
F₀ = 1.13
この場合の確率は0.438、すなわち43%であり、5%検定では棄却できない。 よって、２群のアクセス数で分散（バラツキ）に差があるとはいえない。 その結果、平均値の差の検定ができる。これから先の話は、 平均値の差の検定参照。

注意

1. 自由度φ₁とφ₂に対するF分布の1%点と5%点は、 表から求めるのが一般的だ。 しかし、本稿では表は用いず、直接確率を計算するようにした。 F分布では自由度がφ₁とφ₂の２次元であるため、 表の転記が面倒になるためである。
2. 上記に関連して、F分布の１％点と５％点を近似式で求める方法も文献４により考案されている。 しかし、文献４の近似式では正しい値が得られなかったため、この方法の採用は断念した。

文献

1. 日科技連QCリサーチ・グループ編　初等品質管理テキスト　日科技連
2. 小針晛宏　確率統計入門　岩波書店
3. 奥村ほか　Javaによるアルゴリズム入門　技術評論社（F分布の計算、JavaScriptに移植）
4. 鈴木義一郎　現代統計学小辞典　講談社ブルーバックス（）

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