楠正・辻󠄀谷将明・松本哲夫・和田武夫：応用実験計画法

概要

「まえがき」から引用する。

（前略）本書は効率の良い実験を計画し，得られたデータを正しく解析する方法を提供するものである．（後略）

感想

要再読である。特に、共分散分析や計数値データに関する実験計画法に関しては、 永田靖:入門実験計画法で紹介されていることもあり、再度読んでみたい。

私のように頭が弱い者にとっては難しい。

「第１章 実験計画法の基礎」にある p.13 以降の「1.3.3 計数値による統計的推測」では、p.14 で[母不良率の検定：二項分布の直接計算]や、[母不良率に関する推測:二項分布の正規分布近似」などの話題がある。 本書では[母不良率の検定]ということばであるが、他の文献では「母比率の検定」と呼ばれているようだ。 もっとも本書の p.12 では、 なお，ここで不良率と表現したが，ここで扱う手法は良品対不良品の問題に限定されず，一般の 2 分類データにおける何らかの事象の発生率に適用してよい．とある。

ムダがない

本書の p.187 以降でときどきムダがないという言い方が出てくる。気になったので少し調べてみた。以下 pp.185-186 まで引用する。

繰返しのない 2 元配置実験のデータの構造は，（中略）一般平均 `mu` と要因効果を表す母数 `alpha_i, beta_j` および誤差 `e_(ij)` の 1 次式

`y_(ij) = mu + alpha_i + beta_j + e_(ij), e_(ij) ～ N(0, sigma^2)`

(6.1.1)

となる。また，データ `y_i` が実験条件を表す連続変数 `x_i` と直線関係にある場合には，`y_i, x_i` を一次式

`y_i = beta_0 + beta_1x_1 + e_i, e_i ～ N(0, sigma^2)`

(6.1.2)

で書くこともある．これは，回帰モデルと呼ばれ（中略）る．（中略）

(6.1.1)，(6.1.2) は一般に

`y_i = x_(0i)theta_0 + x_(1i)theta_1 + cdots + x_(pi)theta_p + e_i`

(6.1.3)

と書ける．これを線形モデルと呼ぶ．（中略）

(6.1.1) において，3 × 2 の繰返しのない 2元配置のデータの構造は，

`{(y_(11)=mu,+alpha_1,,,+beta_1,,+e_(11)),(y_(12)=mu,+alpha_1,,,,+beta_2,+e_(12)),(y_(21)=mu,,+alpha_2,,+beta_1,,+e_(21)), (y_(21)=mu,,+alpha_2,,,+beta_2,+e_(22)),(y_(31)=mu,,,+alpha_3,+beta_1,,+e_(31)),(y_(32)=mu,,,+alpha_3,,+beta_2,+e_(32)):}`

(6.1.4)

となる．これは，(6.1.3) において，`p = 5` とし，母数 `mu, alpha_1, alpha_2, alpha_3, beta_1, beta_2` をそれぞれ `theta_0, theta_1, theta_2, cdots, theta_5` とみなし， その係数を `x_(0i), x_(1i), x_(2i), cdots, x_(5i)` とした

`{(y_(11)=x_(01)theta_0,+x_(11)theta_1,+x_(21)theta_2,+x_(31)theta_3,+x_(41)theta_4,+x_(51)theta_5+e_1), (y_(12)=x_(02)theta_0,+x_(12)theta_1,+x_(22)theta_2,+x_(32)theta_3,+x_(42)theta_4,+x_(52)theta_5+e_2), (y_(21)=x_(01)theta_0,+x_(13)theta_1,+x_(23)theta_2,+x_(33)theta_3,+x_(43)theta_4,+x_(53)theta_5+e_3), (y_(21)=x_(04)theta_0,+x_(14)theta_1,+x_(24)theta_2,+x_(34)theta_3,+x_(45)theta_4,+x_(54)theta_5+e_4), (y_(31)=x_(01)theta_0,+x_(15)theta_1,+x_(25)theta_2,+x_(35)theta_3,+x_(45)theta_4,+x_(55)theta_5+e_5), (y_(32)=x_(06)theta_0,+x_(16)theta_1,+x_(26)theta_2,+x_(36)theta_3,+x_(46)theta_4,+x_(56)theta_5+e_6):}`

(6.1.5)

に対応する．

ところが，(6.1.4)と(6.1.5)を比べると，(6.1.5)の係数 `x_(1i), cdots, x_(5i)` の間には，

`{ (x_(1i)+x_(2i)+x_(3i)=1, i=1"," 2"," cdots"," 6 ), (x_(4i)+x_(5i)=1, i=1"," 2"," cdots"," 6 ):}`

(6.1.6)

の関係（１次従属）がある．分散分析における母数に関する制約

`alpha_1 + alpha_2 + alpha_3=0, \quad beta_1 + beta_2 = 0`

(6.1.7)

を用い，

`alpha_3 = -alpha_1 - alpha_2, \quad beta_1 = -beta_2`

を(6.1.4) に代入すると，

`{(y_(11)=mu,+alpha_1,,+beta_1,,+e_(11)),(y_(12)=mu,+alpha_1,,,-beta_1,+e_(12)),(y_(21)=mu,,+alpha_2,+beta_1,,+e_(21)), (y_(21)=mu,,+alpha_2,,-beta_1,+e_(22)),(y_(31)=mu,-alpha_1,-alpha_2,+beta_1,,+e_(31)),(y_(32)=mu,-alpha_1,-alpha_2,,-beta_1,+e_(32)):}`

(6.1.4)

と書き換えられる．（中略）

一般に，(6.1.3)の線形モデルにおいて，`x_(1i),x_(2i),cdots, x_(p i)` が 1 次独立な場合を，母数 `theta_0, theta_1, cdots, theta_p` にムダがないという．

ムダがない、の意味がわかった。またこの方法で、「情報量統計学」にあった分散分析モデルの計算方法も分かった気がする。

例題 6.6 を解いてみよう。次の表 6.20 のデータで解いてみる。

データの構造は p.207 の (6.4.15) の通りである。これを引用する。

デザイン行列は p.207 の 表 6.21 にある。これを転記する。

本書ではこの表から正規方程式を経由して `mu` などを求めているが、私は `QR` 分解を使って求めてみることにした。

`S_e` =
`[mu, alpha, beta, gamma, delta]`=[]

これらの値は、本書の `hat mu = 460//24, hat alpha = 86//24, hat beta = 104//24, hat gamma = 52//24, hat delta = 46 //24` や、 `S_e = 4.333` と誤差を除いて合致する。よかった。

誤植

p.16 で (1.3.21) 式と (1.3.22) 式のあいだにある文に、これに運続修正（Yates の修正）を施すととあるが、正しくは、 《これに連続修正（Yates の修正）を施すと》だろう。

p.122 上から 1 行目、ダグチメソッドとあるが、正しくは、《タグチメソッド》だろう。

p.205 下から 11 行目 で`A` の主果は高度に有意である．とあるが、正しくは、 《`A` の主効果は高度に有意である．》だろう。

数式表現

数式はASCIIMathML を使っている。

書誌情報

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