佐藤　總夫：自然の数理と社会の数理 II

概要

微分方程式の使われる分野として、美術、経営、軍事、政治、生理学、疫学、生態学などから例を挙げて、 懇切丁寧に説明している。 第 I 巻に続き、この巻では疫学や生態学からの例を挙げている。 著者はまえがきで、I, II, III の三分冊にした、 と書いているが、第 III 巻は未だに出版されていない。

感想

名著である。 そして著者は既に亡くなっている。 残念なことだ。 (2009-01-12)。

軍拡モデル

著者は、第1話「軍縮はなぜ軍拡に変わるのか」で、リチャードソンのモデルを紹介している。 ルイス・フライ・リチャードソンはイギリスの数理物理学者である。リチャードソンは数値解析による天気予報、フラクタルの概念などで現在知られているが、 同書では戦争の数学的解析のモデルに関する業績で紹介されている。 さて、リチャードソンのモデルを途中まで著者に沿って紹介しよう。

まず、自国の軍備の増加率が相手国の軍備の大きさに比例する、と仮定する。ある時点での `X` 国の戦力を `x` で、 `Y` 国の戦力を `y` で表す。 微小な時間 `dt` における `x`, `y` の増加分をそれぞれ `dx`, `dy` とすると、適当な比例係数 `k` を用いて、次の連立微分方程式を得る。

`(dx)/(dt) = ky, quad (dy)/(dt) = kx`

のちの便宜のために、この連立微分方程式を次のように書き換える。

`{(x' = ky), (y' = kx):}`

この正の比例定数 `k` を以下防衛係数と呼ぶ。相手国の戦力が単位量だけ増えたとき、 それに応じて自国の戦力を為政者がどれぐらいの割合で増やすかを表す係数である。

この連立微分方程式を解くと、`t -> oo` で `x -> oo, y -> oo` となり、果てしない軍拡競争となる（その結果は戦争となる）。 しかし、実際には軍事といえども予算に限界があるのでこうはならない。モデルをどのように修正すべきか。

まず、自国と相手国の防衛係数が同じというのは現実とは異なるので、自国と相手国の防衛係数を異なるものとして、それぞれ `k, l (k != 0)` とする。 そして、自国の増大した防衛力の結果として、それ以上の防衛力を抑制すべきである。したがって、次のようなモデルが考えられる。

`{(x' = ky - alpha x), (y' = kx - beta y):}`

ここで `alpha, beta` は正の係数で、自国の戦力を維持するための経済的負担に対する疲労を表すものであるから、これを疲労係数と呼ぶ。

さらに、ナショナリストたちの野望の程度や自国民が抱く平和の安心の程度を表す因子を上の右辺の定数項`g, h`として導入する。これを不平因子と呼ぶ。 これを加えた式は次のとおりである。

`{(x' = ky - alpha x + g), (y' = kx - beta y + h):}`

不平因子が正のときは相対的に自国の軍備に不安を抱くとき、負のときは自国の軍備に安心するときと考える。

この最後のモデルがリチャードソンのモデルとして、同書の第２章以下で考察されている。 今、この文章を書いているのが 2016 年 11 月 13 日、合衆国次期大統領にトランプが選ばれたばかりの時期であることに、 妙な符合を感じる。

ミクシンスキーの演算子法

あとがきで、著者はこのように言っている。

第６話について一言．定数係数の線型微分方程式を解くだけならば，ラプラス変換を使うよりもミクシンスキーの演算子法がよいと思う． それが当節の常識であろう．（中略）本文でミクシンスキーの演算子法を説かなかったのは， 伝統に従ったまでのこと．それにアッカーマンたちの論文・著作に合わせることなどで他意はない． （中略）ところが，初心者にこの演算子法を教える場合，もっともめんどうなところはティッチマーシュの定理の証明であった．証明なんかあとまわし， （中略）わりきって突進しても，この演算子法を十分に使うことはできる．ただ，数学畑に育った人はそうもゆくまい． しかし，幸いにも，最近になって特別な場合ではあるが，その定理の証明はいちじるしく簡素化された．（後略）

ティッチマーシュの定理について同書に書かれていないのは残念である。 吉田耕作と加藤敏夫の「応用数学」には特別な場合についての証明がのっている。 これが、著者の言う「特別な場合」の「簡素化された」証明にあたるのかどうかは不明である。

誤植

p.70 下から 2 行目、「(i) から (vi) まで」とあるが、正しくは 「(i) から (iv) まで」である。

数式記述

このページの数式は ASCIIMathML で記述している。

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