伊理　正夫：線形代数II

概要

著者曰く、線形代数の入門書としての役割を担うとともに，線形代数を道具として使う人達にとっては， いつまでも有用なマニュアルとしても役立つようにと，やや欲張った目標を置いて執筆した（後略）

第2分冊ではベクトル空間、線形方程式系、固有値、行列の標準形と応用などについてのべられている。

感想

著者はあとがきで、著者が良い意味でも悪い意味でもかなりの影響をうけたものを思い出してみれば と書きだしていくつかの書物を挙げている。著者にとっての悪い意味とは何だろうか。聞いてみたいものだ。

そして、応用家の眼からみて，何といっても圧巻なのは，Ф. Р. Гантмахер:"Теория Матриц" とある。ガントマッヘル、あるいはガントマッヒャー、という名前はどこかで聞いたことがあるが、 このロシア語の本は中身をみたことすらない。 その後、英訳本の I と II を、 PDF の形で入手したが、まだ読んでいない。 だから、この線形代数 I, II と比べられるのかどうかすら、 わからない。 その後、伊理先生はこの２冊を合本とし（ておそらく改訂し）た「一般線形代数」を上梓された。 さらにその後、「一般線形代数」を増補改訂した（と思われる）本を朝倉書店から「線形代数汎論」として出版されたが、 これもこの線形代数I, II の延長線上にあるのだと思う。

ペロン・フロベニウスの定理

「ペロン＝フロベニウスの定理」について、p.269 から引用する。 ここで `rho(A)` は行列 `A` の固有値の絶対値の最大なものをいう。また、"正の"ベクトルとは、各要素がすべて正であるベクトルをいう。

既約な `n` 次正方非負行列 `A` に対して次の(1)，(2)，(3) が成り立つ．これは Perron-Frobenius の定理と呼ばれている．

(1) `rho(A) gt 0` で，`A` は正の固有値 `rho(A)` とそれに対応する"正の"固有ベクトルを持つ．
(2) `A ge B (gt O_(n,n))` なる任意の `n` 次正方（非負）行列 `B` に対して，`rho(A) ge rho(B)` が成り立つ．`rho(A) = rho(B)` が成り立つのは `A=B` のときに限る．
(3) `rho(A)` は `A` の単純な固有値である．

他の分冊との関連

著者は、この応用数学シリーズのあちこちを参照先として記している。 目についただけでもこれだけあった

• p.110 マトロイド　→　離散数学
• p.114 関数の凸性　→　基礎解析
• p.115 部分空間　→　基礎代数
• p.141 Gram-Schmidt の直交化法　→　線形計算
• p.158 Farkas の定理　→　最適化法
• p.169 高速 Fourier 変換　→　数値計算の基礎
• p.251 正則　→　複素関数論
• p.274 Markov 連鎖　→　「確率と確率過程」，「確率的方法とシミュレーション」
• p.275 最大流問題　→　「離散最適化法とアルゴリズム」，「離散数学」

参照先の分冊で、本当に記載があるのだろうか。これから調べたいものだ。

式の記述

p.159 で、例 3.3.1 で述べられている図 3.3.1 が非常に小さくて見づらい。自分で書き直してみたい。

以下書き直した結果である。ただし、上から２段目の最も右の項は、原著では `a_0 alpha^m` とあるが、 正しくは `a_0 alpha^(m-2)` であることがわかった。ちなみに、係数 `b_0` のほうは正しい。

`K=CC` とする。二つの 1 変数多項式

`p(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`

`q(x) = b_m x^m + b_(m-1) x^(m-1) + ... + b_1 x + b_0 (b_n != 0)`

が共通の零点 `alpha` を持てば，`p(alpha) = q(alpha) = 0` であるから， 図 3.3.1 の `m + n` 個の式が同時に 0 になる。

図 3.3.1

これらの関係は

`R = [(a_n, a_(n-1), ... , ..., ..., ... , a_1, a_0, , , , ), ( , a_n , a_(n-1), ..., ..., ... , ..., a_1, a_0, , , ), ( , , ddots , ddots, , , , ,ddots, ddots, , ), ( , , , ddots,ddots, , , , ,ddots,ddots, ), ( , , , ,a_n ,a_(n-1), ..., ..., ..., ... , a_1, a_0 ), (b_m, b_(m-1), ... , ... ,b_1 ,b_0 , , , , , , ), ( , b_m, b_(m-1), ... , ...,b_1 ,b_0 , , , , , ), ( , , ddots , ddots , , ,ddots,ddots, , , , ), (, , , ddots , ddots , , ,ddots,ddots, , , ), (,, , , ddots , ddots , , ,ddots,ddots, , ), (,,, , , ddots , ddots , , ,ddots,ddots, ), (,,, , , , b_m , b_(m-1) , ... ,... ,b_1, b_0 ) ] `

および

` mathbb alpha = [alpha^(m+n-1), alpha^(m+n-2), ..., alpha, 1]^t`

とおくと，

` R mathbb alpha = mathbb 0`

と表せるから，上の式を満たす `mathbb alpha != mathbb 0` が存在することにより， `p(x)` と `q(x)` が共通零点を持つための“必要条件”として

`det R = 0`

が得られる．(中略) det R のことを、`p(x)` と `q(x)` の終結式 ( resultant ) という．

数式の記述

数式の記述にはMathJax を用いている。

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