基礎解析 I

概要

著者曰く、本講では，明確な概念の把握，実感のこもる事実の納得， さらに信用できる方法の理解を目標として，応用志向の解析概論を展開したつもりである．

第1分冊では 1 変数関数の微分法について、その要点と補足を述べている。

感想

`epsilon delta` 論法

理系の大学生は解析の時間になると一部の優秀な学生を除き頭を抱える。これが `epsilon - delta` 論法である。 この本ではハイフンを抜かして `epsilon delta` 論法としているが、 このハイフンをとった形ではあまりお目にかかったことがない。

イプシロン・デルタ論法とは、たとえば次のものである。 `x = a` の近くで定義された関数 `f(x)` と定数 `beta` について，`lim_(x -> a) f(x) = beta` であるとは， 全称記号 `AA` と特称記号 `EE` を用いて表せば次の通りである。

` AA epsilon > 0, EE delta > 0 ; |x - a| < delta, x != a => |f(x) - beta| < epsilon `

凸関数

凸という字は、中原誠のあの事件以来不思議な感触を与えるようになったが、それはどうでもいい。 同書によれば、凸関数の定義は次の通りである。 区間 `K = [a, b]` において関数 `f(x)` が凸関数 (convex function) であるとは、 そのグラフ上の 2 点 `P, Q` を結ぶ線分が、曲線 `y=f(x)` の `P, Q` 間の弧よりも上方にあることである。 言い換えれば、`f(x)` が凸であるための条件は、`0 < t < 1` なる `t` にたいして

`y_t -= (1-t)f(p) + t f(q) >= f(x_t) -= f((1 - t)p + tq)`

が成り立つことである。

高校のころは、「上に凸」とか「下に凸」とかいっていたが、 同書を読んでいて高等な数学は上下の区別をつけないのだな、と思った次第だ（ここでは下に凸である）。

数式の記述

数式はMathJax を用いている。

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