秋山武太郎 : わかる三角法

作成日 : 2024-08-22

最終更新日 :

概要

「著者のまえがき」から引用する :

本書は「わかる」ということを第 1 の目的とし，そのかわり紙数の多くなるのをいとわず，ていねいに講義したものである．

本文には問題がある。ヒントはあるが解答はない。巻末には付録がある。

三角形の諸量にはいろいろな恒等式があって目がくらくらする。本書 p.143 にあるのは次の式である。ここで `A, B, C` は任意の三角形 ABC の 3 つの角の大きさである。

`tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C`

p.147 の例題 2 は、モルワイデの法則の証明である。モルワイデといえば、地図の投影法にあったモルワイデ図法の、あの名前の人だろうか。調べてみると、やはりそうだった。それにしても、三角法は難しい。本書にあるモルワイデの法則は次のとおりである。

`(b+c)/a = (cos(B-C)/2)/(cos(B+C)/2), \quad (b-c)/a = (sin(B-C)/2)/(sin(B+C)/2)`

解答は省略する。

p.155 の次の問題 2 を考えてみた。

2 辺が 8cm, 5cm でその夾角が 60° である三角形の第 3 辺を求めよ．

わたしはこの辺を求める公式が思い出せず（いや、公式を適用するということすら思い出せず）、三角形を書いて未知数を求めるのかと思ったほどだ。考えてみれば、余弦定理を使えば一発ではないか。余弦定理はたしかこうだったはずだ。`a, b, c` が３辺の長さで、`C` が `c` に向かい合う角とする。

`c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C`

`a = 8, b = 5, C = pi/3` とすれば、`cos C = 1/2` であるから、`c^2 = 64 + 25 - 2 * 8 * 5 * 1/2 = 49` であり、`c = 7` となる。

このページの数式は MathJax で記述している。

MARUYAMA Satosi