基礎解析 II

作成日：2012-01-17
最終更新日：

概要

著者曰く、本講では，明確な概念の把握，実感のこもる事実の納得，さらに信用できる方法の理解を目標として，応用志向の解析概論を展開したつもりである．

第2分冊では多変数の微分法や積分法が登場する。

p.148 で、一様収束と連続性についての定理が述べられている。区間 `I =(a, b)` において，連続関数 `f_n (n = 1, 2, cdots)` が `f_0` に一様収束するならば，極限関数 `f_0` も連続である．という定理である。証明は次の通りである。

`I` の任意の点 `c` を固定する。与えられた任意の整数 `epsilon` に対して，次の性質をもつ整数 `delta` の存在を示せばよい。
`|h| < delta => |f_0(c + h) - f_0(c)| < epsilon`

ここで関数のノルムの記号を導入する。すなわち

`{:|| f_n - f_0 ||:} = "sup"_(x in I) |f_n(x) - f_0(x)|`

とおく．連続関数 `f_n` が `f_0` に一様収束することから、 `{:||f_n - f_0 ||:} < epsilon / 3` となる `n` が存在する。さて、`|f_0(c + h) - f_0(c)|` を次のように変形する。

`f_0(c + h) - f_0(c) = {f_0(c+h) - f_n(c+h)} + {f_n(c+h) - f_n(c)} + {f_n(c) - f_0(c)}`

右辺の第一のカッコと第三のカッコはそれぞれ点 `c+h` 、`c` において関数が一様収束するからそれぞれ `epsilon / 3` 未満である。また、第二のカッコは関数が連続であることから `epsilon / 3` 未満である。よって上の式から次が言える。

`|h| < delta => |f_0(c + h) - f_0(c)| < epsilon / 3 + epsilon / 3 + epsilon / 3 = epsilon`

よって極限関数 `f_0` も連続である。□

以上、「しかるべき項を引いて足して、絶対値の三角不等式で分離して評価式を導く」という手法があることがわかった。同書ではこれを望遠鏡型変形 ( telescoping ) と呼んでいるが、通用することばなのだろうか。

もう一つ、この分解してそれぞれを評価するという方法は `epsilon / 3` 論法と呼ばれているらしい。宮島静雄「関数解析」参照。

2 次元の Gauss （ガウス）の定理は次の通りである。

`S` を平面上の有界な領域，`C` をその周囲とする（区分的に`C^1`級正則）． `bbn` を `C` の外向き法線ベクトルとすると

`int int_S "div" bbF \ dxdy = int_C bbF*bbn \ ds `

が示される．ただし、`bbF(x, y) = (f(x, y), g(x, y))` は `S` を含む範囲で `C^1`級なベクトル場， `"div" bbF = f_x + g_y`である。

あとがきには、どこか応用数学者や物理学者の書いた数学解説書に対して「あてこすり」があるように思える。

数式記述はASCIIMathML を、数式表現はMathjaxを用いている。

MARUYAMA Satosi