藤田宏、今野礼二 : 基礎解析 Ⅱ

概要

著者曰く、本講では，明確な概念の把握，実感のこもる事実の納得， さらに信用できる方法の理解を目標として，応用志向の解析概論を展開したつもりである．

第1分冊に続くこの第2分冊では、 多変数の微分法や積分法が登場する。

感想

証明の定石

p.148 で、一様収束と連続性についての定理が述べられている。区間 `I =(a, b)` において，連続関数 `f_n (n = 1, 2, cdots)` が `f_0` に一様収束するならば， 極限関数 `f_0` も連続である．という定理である。証明は次の通りである。

`I` の任意の点 `c` を固定する。 与えられた任意の整数 `epsilon` に対して，次の性質をもつ整数 `delta` の存在を示せばよい。
`abs(h) < delta => abs(f_0(c + h) - f_0(c)) < epsilon`

ここで関数のノルムの記号を導入する。すなわち

`norm(f_n - f_0) = underset(x in I)("sup") abs(f_n(x) - f_0(x))`

とおく．連続関数 `f_n` が `f_0` に一様収束することから、 `norm(f_n - f_0) < epsilon / 3` となる `n` が存在する。さて、`abs(f_0(c + h) - f_0(c))` を次のように変形する。

`f_0(c + h) - f_0(c) = {f_0(c+h) - f_n(c+h)} + {f_n(c+h) - f_n(c)} + {f_n(c) - f_0(c)}`

右辺の第一のカッコと第三のカッコはそれぞれ点 `c+h` 、`c` において関数が一様収束するからそれぞれ `epsilon / 3` 未満である。 また、第二のカッコは関数が連続であることから `epsilon / 3` 未満である。よって上の式から次が言える。

`abs(h) < delta => abs(f_0(c + h) - f_0(c)) < epsilon / 3 + epsilon / 3 + epsilon / 3 = epsilon`

よって極限関数 `f_0` も連続である。□

以上、「しかるべき項を引いて足して、絶対値の三角不等式で分離して評価式を導く」という手法があることがわかった。 同書ではこれを望遠鏡型変形 ( telescoping ) と呼んでいるが、通用することばなのだろうか。

もう一つ、この分解してそれぞれを評価するという方法は `epsilon / 3` 論法と呼ばれているらしい。 宮島静雄「関数解析」参照。

ラプラシアンの空間極座標表示

p.191 §4.5 高階偏導関数を復習しよう。

ラプラシアン `Delta` を空間極座標（３次元極座標）で表すには膨大な計算が必要である。いきなり 3 次元は厳しいので、まず 2 次元でやってみよう。

なお、以下 `(del f)/(del x)` を `f_x` と表す。また `del/(del x) f_y` を `f_(yx)` と表す。`C^2` 級の関数であれば `f_(xy) = f_(yx)` という定理がある。

2変数関数 `z = f(x,y)` に対する `f_(x x) + f_(yy)` を求める。 `x = r cos theta, y = r sin theta` とおく。`z = f(x,y)` とすると、`z_r, z_theta` はそれぞれ次のように表される：

`z_r = z_x x_r + z_y y_r = z_x cos theta + z_y sin theta`,
`z_theta = z_x x_theta + z_y y_theta = - z_x r sin theta + z_y r cos theta`.

これを `z_x` と `z_y` について解いて、

`z_x = z_r cos theta - r^-1 z_theta sin theta`,
`z_y = z_r sin theta + r^-1 z_theta cos theta`. ……★

ここから `z_(x x)` と `z_(theta theta)` を計算する。

これから次のことがわかる。
` z_(x x) + z_(yy) = z_(rr) + r^-1 z_r + r^-2 z_(theta theta)` …※

思いがけずすっきりした。

では、３変数関数 `u = f(x, y, z)` について `u_(x x) + u_(y y) + u_(z z)` を空間の極座標で表してみよう。

直交座標 `(x, y, z)` と３次元極座標 `(r, theta, phi)` との間には次の関係がある：

`{{:(x = r sin theta cos varphi),(y = r sin theta sin varphi ),( z = r cos theta ):}}, {{:(r = sqrt(x^2+y^2+z^2) ),(theta = arctan(sqrt(x^2+y^2)/z)),( varphi = arctan (y/x)):}}.`

ここで変数 `rho = r sin theta` を導入し、次のように表してみよう。
`x = rho cos varphi , y = rho sin varphi`

`z` を一定に保つと、※の式から
`u_(x x) + u_(y y) = u_(rho rho) + rho^-1 u_rho + rho^-2 u_(varphi varphi)` ……①
が得られる。

さて、`z = r cos theta, rho = r sin theta` であるから、 これは、`r` が動径で `theta` が2次元の方位角を表す `z-rho` 平面とみることができる。 言い換えれば、`z` が `x` の役割となり、`rho` が `y` の役割となっている。したがって、
`u_(z z) + u_(rho rho) = u_(r r) + r^-1 u_r + r^-2 u_(theta theta)` ……②
が成り立つ。また、★から
`u_rho = u_r sin theta + r^-1 u_theta cos theta`. ……③

①と②を辺々足して
`u_(x x) + u_(y y) + u_(z z) + u_(rho rho) = u_(rho rho) + rho^-1 u_rho + rho^-2 u_(varphi varphi) + u_(r r) + r^-1 u_r + r^-2 u_(theta theta)`
`u_(x x) + u_(y y) + u_(z z) = rho^-1 u_rho + rho^-2 u_(varphi varphi) + u_(r r) + r^-1 u_r + r^-2 u_(theta theta)`
ここで右辺を計算する。第1項は `rho` の定義と③から
`rho^-1 u_rho = 1 / (r sin theta) (u_r sin theta + r^-1 u_theta cos theta) = 1 / r u_r + cot theta / r^2 u_theta `
`rho^-2 u_(varphi varphi) = 1 / (r^2 sin^2 theta) u_(varphi varphi)`
よって、
`u_(x x) + u_(y y) + u_(z z) = 1 / r u_r + cot theta / r^2 u_theta + 1/ (r^2 sin^2 theta) u_(varphi varphi) + u_(r r) + 1/r u_r + 1/ r^2 u_(theta theta)`
` = u_(r r) + 2 / r u_r + cot theta / r^2 u_theta + 1 / r^2 u_(theta theta) + 1 / (r^2 sin^2 theta) u_(varphi varphi)`

Gauss の定理と Green の定理

2 次元の Gauss （ガウス）の定理は次の通りである。

`S` を平面上の有界な領域，`C` をその周囲とする（区分的に`C^1`級正則）． `bbn` を `C` の外向き法線ベクトルとすると

`int int_S "div" bbF \ dxdy = int_C bbF*bbn \ ds `

が示される．ただし、`bbF(x, y) = (f(x, y), g(x, y))` は `S` を含む範囲で `C^1`級なベクトル場， `"div" bbF = f_x + g_y`である。

あとがき

あとがきには、どこか応用数学者や物理学者の書いた数学解説書に対して「あてこすり」があるように思える。

誤植

p.143 (3.1.8)　の式は、
`S_N(x) = u_1(x) + u_color(red)(0)(x) + cdots + u_N(x)`
となっているが、正しくは次の通り。
`S_N(x) = u_1(x) + u_color(blue)(2)(x) + cdots + u_N(x)`

p.174 下から 6 行目
`theta` は複素数であるが， とあるが正しくは、 `eta(theta)` は複素数であるが，
だろう。この少し前に Euler の公式が次のように記されているからだ。

`e^(i theta) = cos theta + i sin theta quad ( theta in RR) `

p.192 下から 4 行目
` = z_(r r) cos^2 theta - 2 r^-1 z_(r theta) cos theta sin theta + r^color(red)2 z_(theta theta) sin^2 theta`
とあるが、最後の項は `r^color(blue)(-2) z_(theta theta) sin^2 theta` が正しいと思われる。

数式の記述

数式記述はASCIIMathML を、 数式表現はMathjaxを用いている。

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