極私的関数解析：中線定理 |
作成日：2015-07-11 最終更新日： |
中線定理(エス：pararelograma teoremo, 英：parallelogram law)とは、 内積空間がもつノルムの特徴を表す定理である。 分極公式と対で話題になることが多い。
`H` を内積空間とする。内積を用いて定義されたノルム `||x|| := (x, x)^(1/2)` は、任意の `x, y in H` に対して次をみたす：
`||x + y||^2 + ||x - y||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2)`
| `||x + y||^2 + ||x - y||^2 ` | ` = (x + y, x + y) + (x - y, x - y)` |
| ` = {(x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y)} + {(x, x) - (x, y) - (y, x) + (y, y)}` | |
| ` = {(x, x) + 2 Re(x, y) + (y, y)} + {(x, x) - 2 Re(x, y) + (y, y)}` | |
| ` = 2(x, x) + 2 (y, y)` | |
| ` = 2(||x||^2 + ||y||^2)` |
上記の計算をしていて, x, y が複素数のときは、内積は単なる対称性ではなく共役対称性、すなわち、`(u, v) = bar( ({:v, u:}) )` であることを失念していた。当初は、途中計算でいきなり `(x, y) + (y, x) = 2(x, y)` とやってしまったのだが、これではいけない。
初等幾何なら、パップスの定理、パップスの中線定理とも呼ばれる。三角形 `ABC` において辺 `BC` の中点を `M` とおくとき、 `AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)` がなりたつ、というように説明される。 図形としては、辺 `AB` と辺 `AC` が隣り合うような平行四辺形 `ABNC` を作った時に、 `ABNC` の各４辺の二乗の和は 対角線 AN と 対角線 BC の 2乗の和に等しい、という事実を表している。
このページの数式は MathJax で記述している。
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