ミンコフスキーの不等式 (Minkowski's inequality) とは次の不等式のことである。`a_n, b_n` は実数列とする。
`p` は `1 ≤ p < +oo` を満たす正の数であり、`sum_(n=1)^oo abs(a_n)^p < oo, sum_(n=1)^oo abs(b_n)^p < oo` とするとき、
次の不等式が成り立つ。
`(sum_(n=1)^oo abs(a_n + b_n)^p)^(1//p) ≤ (sum_(n=1)^oo abs(a_n)^p)^(1//p) + (sum_(n=1)^oo abs(b_n)^p)^(1//p)`
名前は、ドイツの数学者 Hermann Minkowski (1864-1909) にちなむ。アインシュタインの相対性理論におけるミンコフスキー空間などで、 その名前を知られている。
`p = 1` ならば、与えられた不等式は
`sum_(n=1)^oo abs(a_n + b_n) ≤ sum_(n=1)^oo abs(a_n) + sum_(n=1)^oo abs(b_n)`
となり、これは明らかになりたつ。したがって、以下の議論では `1 lt p lt oo` としてよい。
収束する実数列を `(a_n)_n, (b_n)_n` などのように書く。
また、`ℓ^p` 空間の復習をする。
`1 le p lt oo` のとき、不等式の仮定は `(a_n)_n in ℓ^p` かつ `(b_n)_n in ℓ^p` であり、このとき、`(a_n + b_n)_n in ℓ^p ` が成り立つ。よって、
`sum_(n=1)^oo (abs(a_n+b_n)^(p-1))^(p//(p-1)) = sum_(n=1)^oo abs(a_n+b_n)^p lt oo`
が成り立つ。ここで、`q = p // (p -1 )` とおくと `1 // p + 1 // q = 1` となることから、
ヘルダーの不等式が使える。よって、
| `sum_(n=1)^oo abs(a_n)abs(a_n+b_n)^(p-1)` | `le (sum_(n=1)^oo abs(a_n)^p)^(1 // p) * (sum_(n=1)^oo abs(a_n + b_n)^((p-1)q))^(1 // q)` |
| `= (sum_(n=1)^oo abs(a_n)^p)^(1 // p) * (sum_(n=1)^oo abs(a_n + b_n)^p)^(1 // q)` |
が得られる。同様にして
| `sum_(n=1)^oo abs(b_n)abs(a_n+b_n)^(p-1)` | `= (sum_(n=1)^oo abs(b_n)^p)^(1 // p) * (sum_(n=1)^oo abs(a_n + b_n)^p)^(1 // q)` |
も得られる。これらより、
| `sum_(n=1)^oo abs(a_n+b_n)^p` | `= sum_(n=1)^oo abs(a_n + b_n) abs(a_n + b_n)^(p - 1)` |
| ` le sum_(n=1)^oo abs(a_n) abs(a_n + b_n)^(p - 1) + sum_(n=1)^oo abs(b_n) abs(a_n + b_n)^(p - 1)` | |
| ` le [(sum_(n=1)^oo abs(a_n)^p)^(1//p) + (sum_(n=1)^oo abs(b_n)^p)^(1//p)] (sum_(n=1)^oo abs(a_n + b_n)^p)^(1//q)` |
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