作用素の順序を保存する興味ある不等式が、古田孝之により証明されている。
`p , r ge 0, q ge 1` が `(1 + 2r)q ge p + 2r` を満たすとき、 $ \mathcal{H} $ をヒルベルト空間、$ \mathcal{H} $ から $ \mathcal{H} $ への有界線形作用素の全体を $ \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$ で表す。 `A, B in ` $ \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$ `, 0 le A le B ` ならば、次の不等式が成り立つ。
`A^((p+2r)//q) le (A^r B^p A^r)^(1//q)`
`(B^r A^p B^r)^(1//q ) le B^((p+2r)//q)`
証明は割愛する。
この古田の不等式は、`r = 0` とすればレーヴナー - ハインツの不等式である。 すなわち、古田の不等式はレーヴナー - ハインツの不等式の拡張であるといえる。
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