命題論理の自然演繹　：　⇒の言い換え　の証明(1-1)　[数学についてのwebノート]

命題論理の自然演繹における諸定理【25】⇒の言い換え　の証明(1-1)

【証明：1-1】( A⇒B ) ⇒ (￢A∨B)[前原p.115]

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[step1]

	仮定1　　　A	仮定2 　　A⇒B

[step2]

	仮定1　　　A	仮定2 　　A⇒B
			(⇒除去)
	B


	【文献】　・前原『記号論理入門』6章§4(pp.114-115):( A ⇒ B ) ⇔ ( ￢A∨B ) 　　・野矢『論理学』1-2-3-LP-命題論理の諸定理-定理10(a)(b)(p.70);付録-定理10(a)(b)(pp.219-220):二項目とも両方向。

　　　
*　「A⇒B」の言い換え表現一覧　　

[step3]

	仮定1　　　A	仮定2 　　A⇒B
			(⇒除去)
	B
			(∨導入)
	￢A∨B

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[step4]

	仮定1　　　A	仮定2 　　A⇒B
			(⇒除去)	仮定3
	B			￢A
			(∨導入)
	￢A∨B

[step5]

	仮定1　　　A	仮定2 　　A⇒B
			(⇒除去)	仮定3
	B			￢A
			(∨導入)		(∨導入)
	￢A∨B			￢A∨B

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[step6]

		仮定1　　　A	仮定2 　　A⇒B
				(⇒除去)	仮定3
		B			￢A
	排中律			(∨導入)		(∨導入)
	A∨￢A	￢A∨B			￢A∨B

[step7]

		[仮定1]　　　[A]	仮定2 　　A⇒B
				(⇒除去)	[仮定3]
		B			[￢A]
	排中律			(∨導入)		(∨導入)
	A∨￢A	￢A∨B			￢A∨B
						(∨除去)仮定1仮定3解消
	￢A∨B

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[step8]

		[仮定1]　　　[A]	[仮定2] 　　A⇒B
				(⇒除去)	[仮定3]
		B			[￢A]
	排中律			(∨導入)		(∨導入)
	A∨￢A	￢A∨B			￢A∨B
						(∨除去)仮定1仮定3解消
	￢A∨B
						(⇒導入則)仮定2を解消
	(A⇒B)⇒(￢A∨B)