命題論理の自然演繹における諸定理 【10】ド・モルガンの法則　の証明(4)

【証明】(¬A)∧(¬B)　⇒　( ¬(A∨B) ) [前原pp.107-8]

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　→step03
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　→step05
　→step06
　→step07
　→step08


[step1]
　　
 　仮定1　
　　(¬A)∧(¬B)　　　






【文献】
　・野矢『論理学』1-2-3-LP-命題論理の諸定理-定理9(1-a)(1-b)(2-a)(2-b)(p.70);付録-定理9(1-a)(1-b)(2-a)(2-b)(pp.218-9):二項目とも両方向。
　・戸田山『論理学をつくる』練習問題69(p.230);9.3.1-9.3.2(pp.233-5)練習問題71(1)(p.235):
　・前原『記号論理入門』6章§1問(pp.107-8)( ¬(A∨B) )⇔ (¬A)∧(¬B) ;解答(p.184)( ¬(A∧B) )⇔ (¬A)∨(¬B)
　・van Dalen,Logic and Structure(3rd ed.) 1.6(p.52)
　・高崎金久『数理論理学入門』VII.2.2基本的な恒真式・演繹関係を形式的に確かめること[例4][例5];3.1排中律に依存する定理と依存しない定理

　
　　　


[step2]

　　

仮定1
(¬A)∧(¬B)

仮定1
(¬A)∧(¬B)

(∧除去)　

(∧除去)　

¬A
¬B



[step3]

　　

仮定1
(¬A)∧(¬B)

仮定1
(¬A)∧(¬B)

　仮定2　

(∧除去)　

　仮定3　

(∧除去)　

A

 ¬A

B

 ¬B





[step4]

　　

仮定1
(¬A)∧(¬B)

仮定1
(¬A)∧(¬B)

　仮定2　

(∧除去)　

　仮定3　

(∧除去)　

A

 ¬A

　B　

 ¬B

(¬除去)　　

(¬除去)　　

⋏
⋏


[step5]

　　

仮定1
(¬A)∧(¬B)

仮定1
(¬A)∧(¬B)


　仮定2　

(∧除去)　

　仮定3　

(∧除去)　


A

 ¬A

　B　

 ¬B

　仮定4

(¬除去)　　

(¬除去)　　

A∨B ⋏
⋏


[step6]

　　

仮定1
(¬A)∧(¬B)

仮定1
(¬A)∧(¬B)


　[仮定2]　

(∧除去)　

　[仮定3]　

(∧除去)　


[A]

 ¬A

　[B]　

 ¬B

　仮定4

(¬除去)　　

(¬除去)　　

A∨B ⋏
⋏

(∨除去) 仮定2仮定3を解消

⋏


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[step7]

　　

仮定1
(¬A)∧(¬B)

仮定1
(¬A)∧(¬B)


　[仮定2]　

(∧除去)　

　[仮定3]　

(∧除去)　


[A]

 ¬A

　[B]　

 ¬B

　[仮定4] 　

(¬除去)　　

(¬除去)　　

　[A∨B]　　 ⋏
⋏

(∨除去) 仮定2仮定3を解消

⋏

(¬導入) 仮定4を解消

¬(A∨B)


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[step8]

　　

仮定1
(¬A)∧(¬B)

仮定1
(¬A)∧(¬B)


　[仮定2]　

(∧除去)　

　[仮定3]　

(∧除去)　


[A]

 ¬A

　[B]　

 ¬B

　[仮定4] 　

(¬除去)　　

(¬除去)　　

　[A∨B]　　 ⋏
⋏

(∨除去) 仮定2仮定3を解消

⋏

(¬導入) 仮定4を解消

¬(A∨B)

(⇒導入)仮定1を解消

(¬A)∧(¬B)　⇒　( ¬(A∨B) )

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