実数は有理数と無理数にわかれることは知られているが、無理数にもさらに分類があることは知られていない。 その分類である代数的数と超越数について述べる。 下記は目次である。
はじめに
第１章 超越数とはなにか
小数展開
代数的数と超越数
リュービルの証明
エルミート・リンデマンの定理
ゲルフォント・シュナイダーの定理
ロスの定理
ディリクレの定理
第２章 代数的数の性質と超越数
定義多項式
代数的整数
代数的数の和，積
基本不等式
級数の収束
リュービル級数の超越性
第３章 ｅとπの超越性の証明
微分積分学からの準備
ｅの超越性の証明
πの超越性の証明
リンデマンの定理の一般型
ベーカーの定理
第４章 べき級数とマーラーの方法
べき級数
代数的べき級数，超越的べき級数
マーラー関数
無限積
フィボナッチ数の逆数和
その他の結果
第５章 超越数の代数的独立性
代数的独立
リュービル数の代数的独立性
指数関数の値の代数的独立性
マーラー関数の値の代数的独立性
ネステレンコの定理
第６章（付録） マーラーの方法の発展
補遺Ａ カントールの対角線論法
補遺Ｂ 代数学の基本定理
補遺Ｃ 対称式の性質
補遺Ｄ 超越的べき級数
補遺Ｅ 同次連立１次方程式
参考文献
さくいん
ブルーバックスにしては珍しく、通常の数学本と同じように、読者の目を特に意識することなく淡々と数学上の事実を証明していくスタイルである。 同じブルーバックスの竹内外史の「集合とはなにか」も同じようだった。
p.20 に、リュービルによって証明された不等式がある。これを紹介する。
`alpha` が `n (ge 2)` 次の代数的数なら、任意の有理数 `p // q` (` p `は整数、`q` は自然数) に対して
`|alpha - p / q| ge c / q^n `
が成立する。ここで、 `c` は `alpha` のみによってきまる 1 以下の正の定数である。
私がこれを見て驚いたのは、有理数は稠密ではあっても、 代数的数との間には越えられない溝、近づけない距離がある、 ということだった。 たとえば、`sqrt(2)` は 2 次の代数的数であるから、 `sqrt(2)` をよく近似する分数 `p//q` があっても、 `c(sqrt(2))//q` だけの隙間が空いてしまう、ということである。 しかし、著者は、それを驚きとして述べることはしない。学者だからか。 それとも、 まだ超越数を説明していないのに代数的数でそんな驚きを表明したらもったいないと思っているのか。 その一方で、関連リンクにある平田典子氏の解説は面白い。
超越数のもつ性質が第１章で挙げられている。これらも有益だ。
あと、同書からは離れるが Wikipedia の英語版から少し挙げておく。
定数ではない一変数代数的関数はどれも、 引数に超越数が与えられればその関数値は超越数である。 たとえば `pi` は超越数だから、`5pi` や `(pi - 3) // sqrt(2), (sqrt(pi) - sqrt(3))^8 、(pi^5 + 7)^(1//7)` はすべて超越数である。
しかし、多変数代数的関数は、引数に＜代数的独立＞ではない超越数が与えられると、 代数的数になることがある。たとえば、`pi` も `(1 - pi)` もともに超越数だが、 `pi + (1 - pi)` = 1 はあきらかに超越数ではない。 たとえば、`pi + e` が超越数かどうかは不明である。しかし、 `pi + e` か `pi e` の少なくともいずれかは超越数である。これを確かめるには、 多項式 `(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab` を考えるとよい。 もし、`(a + b)` と `ab` がともに代数的数であるとすると、 この式の係数は代数的数となる。なぜなら、代数的数は代数的閉体をなすからで、 このことから、この多項式の根である `a, b` はともに代数的数である。 しかし、これは矛盾である。よって、少なくとも一方は超越数である。
このページの数式は ASCIIMathML で記述し、MathJax で表示している。
| 書 名 | 超越数とはなにか |
| 著 者 | 西岡 久美子 |
| 発行日 | 2015 年 4 月 20 日(第 1 刷) |
| 発行元 | 講談社 |
| 定 価 | 860 円（本体） |
| サイズ | 新書 版 ページ |
| その他 | 講談社ブルーバックス、南越谷図書館で借りて読む |
| ISBN | 4-06-257911-7 |
| NDC | 410.9 |
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