上図のように，振動数 $f$ ，波長 $\lambda$ ，波の速さ $v=f\,\lambda$ の平面波が $y$ 軸に対して入射角 $\theta$ で入射し， $x$ 軸上で反射しているとします。その入射波，反射波の振幅を $a$ として，点Ｐ（ $\,x，y$ )における時刻 $t$ での変位 $\phi_1(x,\,y,\,t)$ ，$\phi_2(x,\,y,\,t)$ が，\[\phi_1(x, \, y,\, t) = a \sin 2\pi \, f \,\bigg(t -\bun{x\sin\theta - y\cos\theta}{v} \bigg ) \quad\cdots\cdots\Maru{13} \\ \phi_2(x, \, y \, t) = a \sin \bigg\{ 2\pi \, f \,\bigg(t -\bun{x\sin\theta + y\cos\theta}{v}\bigg ) + \delta \bigg\} \quad\cdots\cdots\Maru{14} \] で表されるとします（『解説３平面波を式に表すと』を参照）。ただし $\delta$ は反射の際の位相差で，自由端反であれば $\delta = 0$ ，固定端反射であれば $\delta = \pi$ となります。
◎入射波と反射の合成波の式：
入射波と反射波の合成波を $\varPhi(x,\,y,\,t)$ とすると，\[\varPhi(x,\,y,\,t) = \phi_1(x,\,y,\,t) + \phi_2(x,\,y,\,t) \\ \kern4em = a \sin 2\pi \, f \,\bigg(t -\bun{x\sin\theta - y\cos\theta}{v} \bigg ) \\ \kern7em + a \sin \bigg\{ 2\pi \, f \,\bigg(t -\bun{x\sin\theta + y\cos\theta}{v}\bigg ) + \delta \bigg\} \\ \kern4em = \underline{2a \cos\bigg\{ \bun{2 \pi f }{v}\times y \cdot \cos\theta - \bun{\delta}{2} \bigg\}}_{(\mathrm{a})} \\ \kern9em \times \underline{ \sin\bigg\{ 2 \pi f \bigg( t - \bun{x \sin\theta}{v}\bigg) + \bun{\delta}{2} \bigg\} }_{(\mathrm{b})} \quad\cdots\cdots\Maru{15} \] となります。
上式右辺第１項(a)は，変数 $y$ のみの関数になっているのに対し，右辺第２項(ｂ)は変数として $x$ と時刻 $t$ の関数になっています。つまり右辺第１項(a)を $ A(y)$ ，第２項(ｂ)を $g(t ,\, x\,)$ とすれば，合成波 $\varPhi(x,\,y,\,t)$ は，\[\varPhi(x,\,y,\,t) = A(y)\times g(t ,\, x\,) \] のような形になっており，合成波を $x$ 軸方向と $y$ 軸方向に分けてみたとき，波の形態に違いのあることが分かります。
まず第２項(ｂ)の関数 $g(t ,\, x\,)$ について考えます。\[\kern-1em g(t ,\, x\,) = \sin\bigg\{ 2 \pi f \bigg( t - \bun{x \sin\theta}{v}\bigg) + \bun{\delta}{2} \bigg\} \\ \kern2em = \sin\bigg\{ 2 \pi f \bigg( t - \bun{x }{v/\sin\theta}\bigg) + \bun{\delta}{2} \bigg\} \\ \kern2em = \sin\bigg\{ 2 \pi f \bigg( t - \bun{x }{w_x}\bigg) + \bun{\delta}{2} \bigg\} \] これは，波の位相（ $\sin$ の中身）が $w_x = \bun{v}{\sin\theta}$ の速さで $+ x$ 方向に移動していくことを意味しています。すなわち合成波は $ x$ 軸方向には進行波になっていることになります。
次に，第１項(ａ)の関数 $A(\, y\,)$ について考えます。 $A(\, y\,)$ は時間 $t$ を含んでいませんので，時間による変化は起きません。
上で述べた $g(t ,\, x\,)$ の項が波の進行波としての部分を表していたので， $A(\, y\,)$ はその進行波の大きさ，厳密にいえばその絶対値が合成波の振幅を表していると考えることができます。以上より，\[\kern-1em |A(\, y\,)| = 2a \bigg|\cos\bigg\{ \bun{2 \pi f }{v}\times y \cdot \cos\theta - \bun{\delta}{2} \bigg\}\bigg| \\ \kern2em = 2a \bigg| \cos\bigg\{ \bun{2 \pi }{\bun{v}{f\, \cos\theta} }\times y - \bun{\delta}{2} \bigg\}\bigg| \\ \kern2em = 2a \bigg| \cos\bigg\{ \bun{2 \pi }{\lambda/ \cos\theta } y - \bun{\delta}{2} \bigg\}\bigg|\\ \kern2em = 2a \bigg|\cos\bigg\{ \bun{2 \pi }{\lambda_y } y - \bun{\delta}{2} \bigg\} \bigg| \] これは合成波の振幅 $|A(\, y\,)| $ が座標 $y$ の関数として，間隔 $\bun{\lambda_y}{2} = \bun{\lambda}{2\cos\theta}$ の間隔で周期的に変化していることを意味しています。すなわち合成波は $ y$ 軸方向には定常波になっていることを表しています。（注． $A(\, y\,)$ は $\lambda_y $ で周期変化しますが， $|A(\, y\,)| $ は $\bun{\lambda_y}{2}$ で周期変化することに注意してください。）
以上より，合成波は全体として $w_x = \bun{v}{\sin\theta}$ の速さで $+ x$ 方向に移動し，その振幅は $ y$ 軸方向に $\bun{\lambda}{2\cos\theta}$ の間隔で周期的に変化している…ということになります。
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解説 １（平面波の反射）
解説 ２（全反射）
解説 ３（振幅反射率・振幅透過率）
解説 ４（エネルギー反射率・エネルギー透過率）