１から始まる整数を順に正方形の形に並べた数の表で、縦横斜めに足すとすべて同じ数になるものを魔方陣という。どんなサイズでも魔方陣ができそうだが、１，２，３，４を２×２の升目に入れて魔方陣にすることはできない。４つの数字の並べ方は４！＝２４通りあるが、対称性を考慮すると次の３通りになる。
|
|
|
縦横斜めに足してみれば、いずれも同じにはならず、２×２の魔方陣はできないことが分かる。
魔方陣として自明なものは１×１の升目に１を入れたものだろう（魔方陣とは言わないかも）。それでは、その次に大きい魔方陣は何だろうか。２×２ができないのなら、３×３はどうだろう。３×３の９つの升目に１から９までの数を入れて、縦横斜めの和を同じにすることはできるだろうか。
◇
９つの数の並べ方は、対称性を考えなければ９！＝３６２８８０通りある。対称性を考慮すれば調べる数はかなり減るが、それでも膨大で、人手で探そうと思えば気が遠くなる。そこで、魔方陣の特性を利用して考えてみよう。
まず、縦横斜めの和がいくつになるかを考えよう。９つの升目に１から９までの９つの数が入る。その３つの行（あるいは、列）を考えると、魔方陣の定義から、その和は同じになるはずだ。
| １ | 行 | 目 |
| ２ | 行 | 目 |
| ３ | 行 | 目 |
３つの行（あるいは、列）を合わせると１から９までの数を１つずつすべて含むから、３行の総合計は１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝４５であり、各行（あるいは、列）の和は同じなのだから、それは４５÷３＝１５のはずだ。なお、ここで斜めの並びを考えても、同じ議論はできないことに注意しよう。斜めの並びは２つあるが、１から９までの数をすべては含まず、重複もあるからだ。
次に、縦横斜めの並びをすべて考えてみよう。縦と横と斜めで数の三つ組みが８つできるが、その各組の数の和が１５であることは分かっている。したがって、１から９までの９つの数字のうち３つを組み合わせて、和が１５になる三つ組みを８つ作ることを考える。各組の３つ目の数は計算できるので、実際には２つの数を組み合わせるだけだから、これを作るのは簡単だ。
１ ５ ９１ ６ ８
２ ４ ９２ ５ ８２ ６ ７
３ ４ ８３ ５ ７
４ ５ ６
１から９までの数３つで和が１５になるものは、この８通りだけである。縦横斜めの数の並びは８つだから、３×３の魔方陣があるとすれば、この８つの三つ組みを組み合わせたものであるはずだ。
ところで、魔方陣の定義から、四隅の数（下図の■、４つある）は縦横斜めの３つの三つ組みに、四囲の中央の数（下図の■、４つある）は縦横の２つの三つ組に、中央の数（下図の■、１つだけ）は縦横斜めの４つの三つ組みに属しているはずだ。
この中で一番制約が強いのは中央の数、したがって、まずこの数を探してみよう。上の８つの三つ組みで、４つの三つ組みに含まれている数は１つしかない。５である。したがって、
| ５ | ||
となるはずだ。次に制約が強いのは３つの三つ組みに含まれる２、４、６、８で、この４つの数が四隅に来るはずだ。回転対称性を考えれば、２が左上に来ると考えても一般性は失われない。すると、斜めの和が１５であることから右下の数も決まり、
| ２ | ||
| ５ | ||
| ８ |
となる。残りの４と６も、対称性から４は左下にあるとしても一般性は失われない。つまり、
| ２ | ６ | |
| ５ | ||
| ４ | ８ |
となる。空欄に入る４つの数は、縦横の和が１５であることから計算で求めることができる。すなわち、
| ２ | ７ | ６ |
| ９ | ５ | １ |
| ４ | ３ | ８ |
これで３×３の魔方陣が完成した。ついでに、１通りしかないことも分かった。
◇
ところで、四隅の数がいずれも偶数であるのは偶然ではない。３つ組みの和は１５、つまり奇数であるから、三つ組みを構成する３つの数はすべて奇数か、偶数２つと奇数１つの組合せのいずれかである。
それでは、縦横斜めの和が奇数になるという条件だけから、どこまで分かるだろうか。まず、右下がり斜めの三つ組みを考えてみよう。その配置は次の３通りである。
| 奇 | 奇 | 偶 | ||||||||
| 奇 | 偶 | 奇 | ||||||||
| 奇 | 偶 | 偶 |
左端の配置の場合を考えると、縦横斜めが奇数となる配置は次の２通りである。
| 奇 | 奇 | 奇 | 奇 | 偶 | 偶 | |
| 奇 | 奇 | 奇 | 偶 | 奇 | 偶 | |
| 奇 | 奇 | 奇 | 偶 | 偶 | 奇 |
次に、中央の配置の場合を考える。右上がり斜めの三つ組みは、一般性を損なうことなく次のような配置になる。しかし、三つ組みの和が奇数になるように残りの升目を埋めていくと、中央の配置では、縦横斜めをすべて奇数にはできないことが分かる。
| 奇 | 奇 | 偶 | 奇 | 偶 | ||||||
| 偶 | → | 偶 | → | 奇 | 偶 | |||||
| 偶 | 奇 | 偶 | 奇 | 偶 |
最後は右端の配置だ。中央の配置の場合と同じように考えてみよう。右上がり斜めの三つ組みに奇数が3つ並ぶ場合は、左端の配置と同じだから、考えなくてよい。すると、
| 偶 | 偶 | 偶 | 偶 | 奇 | 偶 | |||||
| 奇 | → | 奇 | → | 奇 | 奇 | 奇 | ||||
| 偶 | 偶 | 偶 | 偶 | 奇 | 偶 |
という配置が得られる。以上のことから、縦横斜めがすべて奇数となる配置は３通りあることがわかった。
連続する数を配置する場合、偶数と奇数の個数は同じか１つ違いだから、ありうる配置は最後の１つだけ。したがって、３×３の魔方陣があるとすれば、その四隅は偶数である。
さて、１から９までの数を３×３の升目に埋める場合、四隅に入るはずの偶数はどのように配置されるのだろうか。１から９までの偶数は、２，４，６，８の４つ。右上がり斜めと右下がり斜めのそれぞれの和は同じで、中央の数は共通だ。このことから、斜めの三つ組みの両端の数（対角の位置にある２つの数）の和も同じになることが分かる。したがって、２と８，４と６が、それぞれ対角の位置に配置されることになる（対称性を考慮すれば、可能な配置は１つだけ）。三つ組みの和は１５だから、その他の数は計算で求めることができる。