独立性の判定 |
作成日：2007-08-28 最終更新日： |
二大新聞(A新聞とB新聞)の地域による普及度の違いをしらべるために、 関東の220世帯と関西の180世帯で読者数を調べたところ、 それぞれ次の表のようになった。 新聞の選択比率は、地域によって異なるといえるか。 (2007年 中小企業診断士第１次試験 経営情報システム 改題)
| A新聞 | B新聞 | 合計 | |
|---|---|---|---|
| 関東 | 140 | 80 | 220 |
| 関西 | 90 | 90 | 180 |
| 合計 | 230 | 170 | 400 |
次の式で AIC を計算し、値の低いモデルを選択する。 AIC(1)が採択されたので、非独立（従属）モデルが選ばれる。 すなわち、A新聞とB新聞のいずれが選ばれるかは地域に依存（従属）する。 従って、新聞の選択比率は、地域によって異なるといえる。
便宜上、新聞の分類をカテゴリー、地域の分類をタイプと呼ぶ。 ここで、カテゴリー軸をi1 = 1 .. c1で、 タイプ軸をi2 = 1 .. c2で表す。 ここで、c1、c2はそれぞれ i1、i2の分類数である。 また、i１に属するカテゴリーの数をn(i１)、 i２に属するタイプの数をn(i２)、 i1とi2の同時に属するカテゴリーおよびタイプの数を n(i1,i2)と記す。n はサンプル数すべてである。
MODEL(0)をカテゴリーとタイプが独立であるモデル、 MODEL(1)をカテゴリーとタイプが非独立であるモデルとする。 AIC(0), AIC(1)はそれぞれMODEL(0), MODEL(1)のAICである。 AIC(0), AIC(1) の求め方は次の通りである。log は自然対数である。
MathML 非対応ブラウザは、下記をどうぞ
AIC(0) = (-2)[Σi1n(i1)log n(i1) + Σi2n(i2)log n(i2) - 2 n log n] + 2(c1 + c2 - 2)
AIC(1) = (-2)[Σi1Σi2n(i1, i2)log n(i1, i2) - n log n] + 2(c1 c2 - 1)
数値をあてはめよう。
AIC(0) = (-2)[230log230 + 170log170 + 220log220 + 180log180 + 2*400log400] + 2(2 + 2 - 2) = 1099.99
AIC(1) = (-2)[140log140 + 80log80 + 90log90 + 90log90 + *400log400] + 2(2 * 2 - 1) = 1094.46
AIC(1) < AIC(0) だから、MODEL(1)のほうがよいモデルということになる。 すなわち、新聞の選択比率は、関東と関西で独立である（異なる）。
従来の独立性の検定は次の通り。
`chi^2 = sum_(i_1)sum_(i_2) {n(i_1, i_2) - (n(i_1)n(i_2))/n}^2 / {(n(i_1)n(i_2))/n} `
なる値を計算し、 χ2が近似的に自由度 (c1 - 1)(c2 - 1)の カイ２乗分布に従うことを利用した「独立性の検定」によって処理されてきた。 この表のχ2値は7.53である （これをχ02とおく）。 また、c1, c2 とも2なので、自由度は1である。
一方、χ2表によると、５％水準でのχ2値は 自由度１では 3.84である。 帰無仮説「地域ごとに差がない（無関係）」を検定する。
χ02 > χ2(1, 0.05) = 3.84
であるので、仮説は棄却された。 故に、地域ごとに差があるといえる。
数式の表現にはASCIIMathを使用した。
