ベクトル解析と多様体 II

概要

第 II 分冊では、テンソル代数とグラスマン代数、ベクトル場と微分形式、 微分方程式への応用が述べられている。

感想

テンソル坊や

大学の授業には、ときどき演習という時間がある。本編の講義では教授や助教授が出てくるのだが、 演習では助手が出てくることもある。電磁気学にも演習があり、 このときは助手が出てきてテンソルを説明するのだったが、なぜかその助手はテンソル坊やと呼ばれていた。

そんなことを思い出しながら、テンソルということばを初めて聞いた時のわけのわからなさを懐かしんでいる。 もちろん、今もテンソルはわからない。 わたしの理解では、テンソルとは行列のようなものだけど、行列とは違う、ということだけである。

同書によれば、テンソルを説明するにはまずテンソル代数を定義しなければならない。 テンソル代数とは、積の定義されているベクトル空間の一種である。 どのような一種かというのは勉強しなければわからない。ただ、物理学では物体のひずみや圧電効果など、 テンソルが実在の量として把握できる。 また、そしてマックスウェルの方程式が簡潔な形でまとまるというのもご利益である。

さて、テンソルをどのように理解すればいいのか。記号が導入される。 二つのベクトル空間、`V` 、`W` に対して最も一般的に考えられる積を次の記号で定義する。

`V xx W -> V ox W`

ここで双線形則をこの積に要請すれば、ベクトル空間 `V ox W` と双線形写像 `ox` は本質的にただ一つ存在する、 という。

著者は３つの方法で定義するといっている。そのうちの２つめは読み取りにくい。 私なりに整理した３通りの方法はこうである。

1. `V` と `W` の基底を用いる方法
2. 双対ベクトル空間の積 `V^(**) xx W^(**)` 上の双線形形式全体とみなす方法
3. 商空間を使う方法

このなかで、商空間を使う方法は定義を述べてあるだけであり、解説は省略されている。 同じシリーズの群と表現には、商空間を使う方法が記載されている。

参考書

参考書の欄で、ニュートン力学の原点、いわゆるプリンキピアは『残念ながら歯が立たなかった』と書かれている。 私も歯が立たなかった。もっとも、私はこの本の本文そのものも歯が立たない。

数式の記述

数式はMathJax を用いている。

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