金谷健一 : ３次元回転

概要

副題はパラメータ計算とリー代数による最適化。

感想

要再読である。

本書の参考文献のうち、私が読んだものは以下のとおりである。

• 金谷健一:これなら分かる最適化数学
• 金谷健一:線形代数セミナー ‐射影,特異値分解,一般逆行列‐

ニュートン法

p.80 ではレーベンバーグ・マルカート法が解説されている。以下引用する。なお、本書では行列をイタリック太字にしているが、引用ではイタリック通常太さとした。 `R` は回転を、`J(R)` は回転 `R` の関数を表す。

1. 初期値 `R` を与える．
2. `J(R)` の勾配\( \boldsymbol{g} \)とヘッセ行列 `H` を計算する．
3. 未知数 `Delta omega` に関する次の連立一次方程式を解く．\[ H \Delta \omega = -\boldsymbol{g} \]
4. `R` を次のように更新を行う \[ R \gets e^{A(\Delta \omega)} R \]
5. `norm(Delta omega) approx 0` であれば `tilde R` を返して終了する。そうでなければ，ステップ 2 に戻る．

では実際の回転はどのように計算するのかと言われると、よくわからない。

レーベンバーグ・マルカート法

p.85 ではレーベンバーグ・マルカート法が解説されている。以下引用する。なお、本書では行列をイタリック太字にしているが、引用ではイタリック通常太さとした。 `R` は回転を、`J(R)` は回転 `R` の関数を表す。

1. 初期値 `R` を与え，`c = 0.0001` と置く．
2. `J(R)` の勾配\( \boldsymbol{g} \)とヘッセ行列 `H` を計算する．
3. 未知数 `Delta omega` に関する次の連立一次方程式を解く．\[ (H + cI) \Delta \omega = -\boldsymbol{g} \]
4. `R` に対して，次の仮の更新を行う \[ \tilde{R} = e^{A(\Delta \omega)} R \]
5. `J(tilde R) lt J(R)` または `J(tilde(R)) approx J(R)` でなければ，`c larr 10c` として，ステップ3 に戻る．
6. `norm(Delta omega) approx 0` であれば `tilde R` を返して終了する。そうでなければ，`R larr tilde R, c larr c/10` としてステップ 2 に戻る．

このステップ 1 の 0.0001 という数値や、ステップ 5 の 10c という係数 10、またステップ 6 の c/10 という係数 1/10 は、本書によればどれも経験値であるという。なるほど。

数式記述

このページの数式は MathJax4 で記述している。

書誌情報