吉田武：虚数の情緒

概要

副題は中学校からの全方位独学法

感想

以下はつまみ食いならぬ「つまみ読み」の感想だ。

もっともっと奇妙なもの

p.471 から引用する。

方程式 `x^2 = -1` も奇妙に思えたかもしれないが，この項を締め括るに当って，もっともっと奇妙なものをお見せしよう．それは，二乗して i になる数，即ち

`x^2 = "i"`

の根である．この方程式も当然，“複素数の範囲” で根を持つ．

私も昔、この方程式を考えたことがある。そのときは、代数学の基本定理も知らず、i の次にはどんな想像上の数が見つかるのだろう、とわくわくしていた。 しかし、何かの機会でこの方程式も結局 i を使って表されることを知り、がっかりした。 i の次の新しい数、つまり四元数のことを知ったのはもっと後だ。なお、この方程式も当然…とあるのは、代数学の基本定理のことを踏まえているのだろう。 さて、この基本定理は本書のどこに書かれているのだろう。それはともかく、引用を続ける。

そこで，その答えを， `x = a + b"i"` と置くことにしよう．この時

`"i" = (a + b"i")^2 = a^2 - b^2 + 2ab"i"`

が成り立つ，というのが問題の主張である．「二つの複素数が等しい」とは“実部と虚部が，それぞれ等しい事”であったから，これは

`a^2 - b^2 =0, quad 2ab = 1`

という二つの方程式に分割される．この連立方程式の根は

`a = sqrt(2)/2, b=sqrt(2)/2, 或いは a = -sqrt(2)/2, b=-sqrt(2)/2`

のどちらかである．特別の条件はないので，プラスの方の組を選び根とする．即ち，二乗して i になる数，言い換えれば「i の平方根」が

`"i"^(1/2) = sqrt(2)/2(1+"i")`

と求められた訳である．

ここで、特別の条件はないので，プラスの方の組を選び根とする．というのが気にかかる。私の感覚では 2 の平方根は `+-sqrt(2)` だ。だから、i の平方根は `+-sqrt(2)/2(1+"i")` である。 それに著者自身、前のページ(p.470) では、次のようにいっているではないか。なお、`omega = (-1 + sqrt(3) "i") / 2` である。

（前略）全体を纏めて，1 の六乗根は以下の六つとなる．

`+-1, +- omega, +- omega^2`．

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