森口繁一・宇田川銈久・一松信 : 岩波 数学公式Ⅰ

作成日 : 2021-11-23
最終更新日 :

概要

第1巻は微分・積分と平面曲線についての公式を収める。

感想

積分公式

第Ⅲ篇は積分公式である。目も眩むほどの積分公式が出ている。 一部を積分法というページに収めた。

仮性積分

p.49 は§9 仮性積分 という題である。「仮性積分」という字面を見て、なぜか恥ずかしくなってしまった （恥ずかしくなった理由は略す）。内容からみて、広義積分のことだろうと見当をつけた。 それはあたっているようだ。この仮性積分と同義の用語として、広義積分のほか、 変格積分、特異積分、異常積分などがあることがわかった。

平面曲線

なぜ公式集に平面曲線の図が載っているのか不思議だ。 せっかくなので、p.268 から始まる平面曲線を描いてみた。 「曲線のカタログ」を参考にした。 私は平面曲線の本は持っていないのでわからないが、 セロイドとか副葉線とか、他の文献で見ない線が出てくるのが楽しい。

注意

`y = f(x)`の型の曲線

; `y = x`
; `y = x^2`
; `y = x^3`
; `y = x^4`
; `y = x^5`
; `y^2 = x`
; `y^2 = x^2`
; `y^2 = x^3`
; `y^2 = x^4`
; `y^2 = x^5`
; `y^3 = x`
; `y^3 = x^2`
; `y = 1/x`
; `y = 1/x^2`
; `y = 1/x^3`
; `x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1`
; `x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1`
; `sqrt(x) + sqrt(y) = sqrt(a)`
; `x^(2//3) + y^(2//3) = a^(2//3)`
; `y = x^2 + x + 1`
; `y = (x + a)(x^2 + bx + c) ( b gt 4c)`
; `y = (x + a)(x^2 + bx + c) ( b = 4c)`
; `y = (x + a)(x^2 + bx + c) ( b gt 4c)`
; `y = x + 1/x`
; `y = x^2 + 1/x`
; `y = x^3 + 1/x`
; `y = x^2 + 1/x^2`
; `y = 1/x + 1/x^2`
; `y = x^2 + 1/x + 1/x^2`
; `y = a^3 / (x^2 + a^2)`
; `y = 1 / (x^2 -1 )`
; `y = (2x) / (x^2 + 1)`
; `y = x^2 / (x^2 + 1 )`
; `y = (2x) / (x^2 -1 )`
; `y = x^3 / (x^2 -1 )`

`y^n=f(x)` の形の曲線

; `(a gt 0)`
; `(a = 0)`
; `(a lt 0)`

`y^2 = x^2 (x + a)`
; `y^2 = x^4(1-x^2)`
; `y^2 = x^2 (x-a)/(x + a) quad (a gt 0)`
; `y^2 = x^2 (a-x)/(a+x) quad(a gt 0)`
; `y^2 = x^3/(a-x) quad(a gt 0)`
; `y^2 = x^2 (2a - x)/(a-x) quad(a gt 0)`
; `y^2 = (x - 1)^3 / x `
; `y^2 = (1 - x)^2 / x^2 `
; `y^2 = 1 / (x^2 + 1)`
; `y^2 = x / (x^2 + 1)`
; `y^2 = x^2 / (x^2 + 1)`
; `y^2 = 1 / (x^2 - 1)`
; `y^2 = 1 / (x^2 - 1)`
; `y^2 = x^2 (x^2-4) / (x^2 - 1)`
;
第 6.34 図 `y^3 = x^2 (x + a) quad (x gt 0, a = 3)`
;
第 6.35 図 `y^4 = x^4/a^2 (a^2 - x^2) quad (a = 4)`

`f(x, y) = 0`の型の曲線

;
第 6.36 図 `x^3 - 3axy + y^3 = 0`
;
第 6.37 図 `x^3 - x^2y + y^2 = 0`
;
第 6.38 図`x^3+3x^2-xy-2y^2 - 8y^3 = 0` （要修正）
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第 6.39 図 `x^3-2x^2y-xy^3+y^4=0`
; `x^4 + x^2y^2 -6x^2y + y^2 = 0`（要修正）
; `x^4 - x^2y + y^3 = 0`（要修正）
;
`x^4 + xy - y^4= 0` （要修正）
;
`x^4 + xy^2-y^4=0`
;
第 6.44 図 `x^4 - xy^2+y^4=0`（要修正）
;
第 6.45 図 `x^4 - 2a^2x^2 - 2b^2y^2 + y^4 = c`
`（a = 2, b = 1, c = 0）`
;
第 6.45 図 `x^4 - 2a^2x^2 - 2b^2y^2 + y^4 = c`
`（a = 1, b = 2, c = -4）`
;
第 6.45 図 `x^4 - 2a^2x^2 - 2b^2y^2 + y^4 = c`
`（a = 1, b = 2, c = -17）`
;
第 6.45 図 `x^4 - 2a^2x^2 - 2b^2y^2 + y^4 = c`
`（a = 2, b = 1.9, c = -1）`
;
第 6.45 図 `x^4 - 2a^2x^2 - 2b^2y^2 + y^4 = c`
`（-a^4 = -b^4 = c = -1）`
;
第 6.46 図 `x^4 + y^4 = 2ax(x^2 - y^2) quad (a gt 0)`
;
第 6.47 図 `x^4 + x^2y^2 + y^4 = x(ax^2 - by^2) quad (a gt 0, b gt 0)`
;
第 6.47 図 `x^4 + x^2y^2 + y^4 = x(ax^2 - by^2) quad (a lt 0, b gt 0)`
;
第 6.48 図 `x^5 + 2x^2y - y^2 = 0`
;
第 6.49 図 `x^5 - 2xy + y^5 = 0`
;
第 6.50 図 `x^5 - 2x^2y + y^5 = 0`
;
第 6.51 図 `x^5 - 2x^2y^2 + y^5 = 0`
;
第 6.52 図 `(x-y)(xy-x^2-3y) = 2x` （要修正）
;
第 6.53 図 `x(y-x)^2 = a^2y` （要修正）
;
第 6.54 図 `x(y-x)^2 = ay^2`
;
第 6.55 図 `(y^2-b^2)y = (x^2-a^2)x (0 gt b gt a)`
;
第 6.56 図 カッシーニの橙形
`(x^2+y^2+a^2)^2 = 4a^2x^2+b^4`
;
第 6.57 図 `(x^2+y^2-3ax)^2 = 4ax^2(2a-x)`（要修正）

指数関数の曲線

pp.279-281 にある「指数函数の曲線」を描いてみる。

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第 6.58 図 `y = (1 + 1/x)^x`
;
第 6.59 図 `y = a^x quad (a gt 0)`
;
第 6.60 図 `y = a e^(-hx^2) quad ( a, h gt 0)`
;
第 6.61 図 `y = e^(1//x) `
;
第 6.62 図 `y = e^(-1//x^2) `
;
第 6.63 図 `y = x e^(1//x) `
;
第 6.64 図 `y = x e^(1//x) `
;
第 6.65 図 `y = x (1+e^(1//x)) `
;
第 6.66 図 `y = x (e^(1//x)-1)/(e^(1//x)+1) `
;
第 6.67 図 `y = +- log_a x (a gt 1) `
;
第 6.68 図 `y = x log x `
;
第 6.69 図 `y = log x / x `
;
第 6.70 図 トラクトリックス（追跡線）
`x = a log (a +- sqrt(a^2-y^2)/y) ∓ sqrt(a^2-y^2) (a gt 0)` （注釈）
;
第 6.71 図 `y^x = x^y (x, y gt 0)`

三角関数の曲線

pp.281-282 にある「三角函数の曲線」を描いてみる。

;
第 6.72 図 `y = x - sin x`
;
第 6.73 図 `y = x sin x`
;
第 6.74 図 `y = x^2 sin x`
;
第 6.75 図 `y = sin x / x `
;
第 6.76 図 `y = x sin pi/x`
;
第 6.77 図 `y = e^(-ax) sin bx (a , b gt 0)`
;
第 6.78 図 `y = x tan x `
;
第 6.79 図 `y = tan x / x`
;
第 6.80 図 `y = x arctan 1 / x`
;
第 6.81 図 `y^2 = x sin^2 x`

媒介変数で表わされた曲線

pp.283-284 にある曲線を描いてみる。

;
第 6.82 図 `{(x=,theta(1-theta^2)),(y=,1-theta^4):}`
;
第 6.83 図 `{(x=,a cos theta),(y=,b sin 2 theta):} (a, b gt 0)`
;
第 6.84 図 `{(x=,a cos theta),(y=,b sin 2 theta):} (a, b gt 0)`
;
第 6.85 図
`{(x=,a cos 2theta),(y=,b sin 3theta):} (a, b gt 0)`
;
第 6.86 図 サイクロイド（擺線）`{(x=,a (theta - sin theta)),(y=,a (1- cos theta)):} (a gt 0)`
;
第 6.87 図 トロコイド（余擺線）`{(x=,a theta -b sin theta),(y=,a - b cos theta):} (a, b gt 0)`
;
第 6.88 図 エピ・サイクロイド（外擺線） `{(x=,(a+b) cos theta - b cos {:((a+b)theta)/b:}), (y=,(a+b) sin theta - b sin {:((a+b)theta)/b:}):} ` `a = b ; (a = b = 1)`
;
第 6.88 図 エピ・サイクロイド（外擺線） `{(x=,(a+b) cos theta - b cos {:((a+b)theta)/b:}), (y=,(a+b) sin theta - b sin {:((a+b)theta)/b:}):} ` `a = 2b ; (a = 2, b = 1)`
;
第 6.88 図 エピ・サイクロイド（外擺線） `{(x=,(a+b) cos theta - b cos {:((a+b)theta)/b:}), (y=,(a+b) sin theta - b sin {:((a+b)theta)/b:}):} ` `a = 3b ; (a = 3, b = 1)`
;
第 6.89 図 ハイポ・サイクロイド（内擺線） `{(x=,(a-b) cos theta + b cos {:((a-b)theta)/b:}),(y=,(a-b) sin theta + b sin {:((a-b)theta)/b:}):} ` `a = 3b`
;
第 6.89 図 ハイポ・サイクロイド（内擺線） `{(x=,(a-b) cos theta + b cos {:((a-b)theta)/b:}),(y=,(a-b) sin theta + b sin {:((a-b)theta)/b:}):} ` `a = 4b`
;
第 6.90 図 `{(x=,(1 + cos^2 theta) sin theta),(y=,sin^2 theta cos theta):} `

極座標で表わされた曲線

pp.285-289 にある曲線を描いてみた。

;
第 6.91 図 代数螺旋 `r = a theta^k`（k = 1, Archimedes 螺線 ）
;
第 6.91 図 代数螺線 `r = a theta^k`（k = 2）
;
第 6.91 図 代数螺旋 `r = a theta^k`（k = `1/2`, 放物螺線 ）
; 第 6.91 図 代数螺線 `r = a theta^k`（k = -1, 逆螺線、双曲螺線）
;
第 6.91 図 代数螺線 `r = a theta^k`（`k = -1/2`, ラッパ線、リチウス）
;
第 6.92 図 対数螺線 `r = a^theta`（`a gt 1`; a = 1.1）
;
第 6.93 図 `r = (a theta)/(theta - b)`（`a, b gt 0; a = 1, b = 1/3`）
;
第 6.94 図 `r = (a theta^2)/(theta^2 - b)`（`a, b gt 0; a = 1, b = 1`）
;
第 6.95 図 正葉線 `r = a sin n theta`（`a gt 0, n = 2; a = 1`）
;
第 6.95 図 正葉線 `r = a sin n theta`（`a gt 0, n = 3; a = 1`）
;
第 6.95 図 正葉線 `r = a sin n theta`（`a gt 0, n = 4; a = 1`）
;
第 6.95 図 正葉線 `r = a sin n theta`（`a gt 0, n = 6; a = 1`）
;
第 6.95 図 正葉線 `r = a sin n theta`（`a gt 0, n = 1/2; a = 1`）
;
第 6.95 図 正葉線 `r = a sin n theta`（`a gt 0, n = 1/3; a = 1`）
;
第 6.96 図 リマソン `r = a cos theta +- b`（`; a = 1`）
;
第 6.97 図 `r = a cos n theta`（`a gt 0, n = 2; a = 1`）
;
第 6.97 図 `r = a cos n theta`（`a gt 0, n = 3; a = 1`）
;
第 6.97 図 `r = a cos n theta`（`a gt 0, n = 1/2; a = 1`）
;
第 6.97 図 `r = a cos n theta`（`a gt 0, n = 1/3; a = 1`）
;
第 6.97 図 `r = a cos n theta`（`a gt 0, n = 1/2; a = 1`）
;
第 6.98 図 `r = a tan n theta`（`a gt 0, n = 1; a = 1`）
;
第 6.98 図 `r = a tan n theta`（`a gt 0, n = 1/2; a = 1`）
（要修正）
;
第 6.99 図 `r = a cot theta`（`a gt 0, ; a = 1`）
（要修正）
;
第 6.100 図 `r = a sec ntheta`（`a gt 0, ; a = 1, n = 2`）
;
第 6.100 図 `r = a sec ntheta`（`a gt 0, ; a = 1, n = 1/3`）
;
第 6.101 図 コンコイド（Nicomedes の螺獅線）
`r = a sec theta +- b`（`a gt 0, ; a = 1`）
青 : b = 2 紫 : b = 1 緑 : b = 0.5
;
第 6.102 図 セロイド `r = a "cosec" theta +- b [a, b gt; 0] `
;
第 6.103 図 `r = a cos theta + b cos 2theta (0 gt a gt b) `
;
第 6.104 図 `r = (a sin theta) / theta (0 gt a; a = 1) `
;
第 6.105 図 `r = (a cos 2theta) / cos theta (0 gt a; a = 1) `
;
第 6.106 図 `r = a / (1 - cos theta) (0 gt a; a = 1) `
;
第 6.107 図 副葉線 `r^2 = a^2 sin n theta`（`n = 1`）
;
第 6.107 図 副葉線 `r^2 = a^2 sin n theta`（`n = 2`）
;
第 6.107 図 副葉線 `r^2 = a^2 sin n theta`（`n = 3`）
;
第 6.107 図 副葉線 `r^2 = a^2 sin n theta`（`n = 4`）
;
第 6.108 図 Booth の紐状線（連珠形） `r^2 = 4a^2 cos^2 theta - (4 a^2 - b^2)`
;
第 6.109 図 `r^2 = a^2 sin theta sec {:theta/3:}`
;
第 6.110 図 `r^n = a^n sin n theta [n = 3] (a gt 0)`
;
第 6.110 図 `r^n = a^n sin n theta [n = 4] (a gt 0)`
;
第 6.110 図 `r^n = a^n sin n theta [n = 3/5] (a gt 0)`
;
第 6.111 図 `r^n = a^n cos n theta [n = 1, 2] (a gt 0)`
;
第 6.111 図 `r^n = a^n cos n theta [n = 1/2, 1/3] (a gt 0)`

誤植

定積分の値

p.240 には、対数関数の `(0, 1)` における数々の定積分の値が掲載されている。そのうち、

`int_0^1 1/(log abs(log x)) = 0`
となっているが、正しくは、-0.154479641320… である。現在の版では修正済である。 この正しい値は数値計算によるものである。

参考 : https://togetter.com/li/1221922

グラフの傾き

p.274 の中段左 `y^3 - x^2(x+a)` のグラフで、`x` 軸との交点におけるグラフの傾きがおおよそ 2 のように見える。 しかし、式を微分すればわかるように、このグラフの `x = -a` における接線は直線 `x = -a` でなければならない （つまりy 軸に平行）。

参考 : http://www10.plala.or.jp/mondai/columun/kousikisyuu.pdf

グラフの向き

p.285 右上の第 6.91 図 代数螺線 `r = atheta^k` における [k = 2] の図が、 180 °回転してしまっている（原点 O から出る螺線が第3象限に向かい、次に第4象限を通り、第1象限で終わっている）。 正しい図は、原点 O から出る螺線がまず第1象限を通り、次いで第2象限を通って第3象限で終わるはずだ。 これは、`r = a theta^2` の図を書くことでわかる。また本書では、本グラフに限り x 軸を表わす `x` の記号が第2象限にあるがこれも不自然である。 このことは誤って図版を180°回転したのではないかという傍証になる。

トラクトリックス

p.281 の式は `x = a log (a + sqrt(a^2-y^2)/y) - sqrt(a^2-y^2) (a gt 0)` となっているが、 これではグラフの第1象限（`x gt 0`）しか表わせない。そのため複号を加えた。複合同順である。
`x = a log (a +- sqrt(a^2-y^2)/y) ∓ sqrt(a^2-y^2) (a gt 0)` トラクトリックス

参考

気になったこと

p.223 の脚注に、Mellin 変換の詳細については第Ⅱ卷，§ 58, 307 ページ参照．とあった。 なんでもないようだが、「卷」が旧字体なのが気になる。他の箇所ではすべて新字体の「巻」だった。

数式とグラフの記述

このページの数式は ASCIIMathML で記述している。 また、関数グラフの表示には DEFGHI1977 氏によるSVGGraph(defghi1977.html.xdomain.jp) を用いている。以前はASCIIsvgを使って記述していたが、 MathJax による数式表示と相性がよくないため、 SVGGraph に変更した。

書誌情報

書名岩波 数学公式Ⅰ
著者森口繁一・宇田川銈久・一松信
発行日1987 年 3 月 13 日 新装第１刷
発行元岩波書店
定価1700 円（本体）
サイズB6版 318 ページ
ISBN4-00-005507-0
その他越谷市立図書館にて借りて読む

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