「はじめに」から引用する：
本書では大学 1, 2 年次の線形代数，微分積分，ベクトル解析，常微分方程式，そして集合と位相の基礎をおおむね習得した学生を対象に，微分可能多様体の枠組みについて解説する．（後略）
本文中には問題があり、巻末にはその章の問題の解答がある。
私は大学 1, 2 年次の数学を習得したとはいえない者なので、この本の内容は難しい。
「第 2 章 ユークリッド空間内の多様体」で、ユークリッド空間内の多様体とは何かが p.34 で解説される。以下引用する。
この定理の仮定を満たす図形 `M` をユークリッド空間 `RR^n` 内の `p` 次元部分多様体と呼ぶ．
この定理とは、本書 pp.32-33 にある定理 2.2.1 のことである。`RR^n` の部分集合 `M` について 3 種類の性質が同値であることを述べている。これ以上はわからない。がっくりである。
別の問題をみてみよう。pp.37-38 にある例題 2.4.1 である。この問題だけ見れば高校までの数学で解けそうだ。
【例題 2.4.1】`S^2 = {(x_1, x_2, x_3) in RR^3 | x_1^2 + x_2^2+x_3^2 = 1}` 上の関数を
`f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2`で定める．`f(x_1, x_2, x_3)` はどのような値をとるか，また，実数 `y` に対し `f^(-1)(y)` はどのような図形であるかを論ぜよ．
解答は省略する。p.39 では解答を受けて次のように結んでいる。
（前略）多様体がユークリッド空間内にあることは，このような問題を扱うときには役に立っていないのである．
うーむ、局所座標を使うのが適切だとはわかっていても、こうなのか。これは大変だ。
「第 5 章 多様体上の関数」のp.99 から引用する。
多様体の形を理解する方法は，それをよくわかる多様体から構成的に理解することである．まず，球面 `S^n` であり， 次にそれらの直積 `S^m times S^n` である．また，次元が 1, 2 の多様体はよくわかっている．
わたしはまだ多様体の形を理解していないけれど、構成的に理解できるように、このことばは覚えておこう。
このページの数式は MathJax で記述している。
| 書名 | 幾何学Ⅰ 多様体入門 |
| 著者 | 坪井俊 |
| 発行日 | 2005 年 4 月 20 日 初版 |
| 発行元 | 東京大学出版会 |
| 定価 | 2600 円（本体） |
| サイズ | A5版 *** ページ |
| ISBN | 4-13-062954-9 |
| その他 | 川口市立図書館にて借りて読む |
まりんきょ学問所 ＞ 数学の本 ＞ 坪井俊：幾何学Ⅰ 多様体入門
