俣野博 : 微分方程式Ⅱ

概要

著者曰く、本書では大学初年級の知識を前提に，微分方程式の基礎理論を平易に解説することをめざした．

常微分方程式を扱った第1分冊「微分方程式Ⅰ」に引き続き、 第 2 分冊では偏微分方程式を扱っている。なお、本書をベースに加筆された、 俣野博・神保道夫「熱・波動方程式と微分方程式」が刊行されている。

感想

熱伝導方程式の実験

1 次元の熱伝導方程式の一般式は、時刻`t`、位置`x` における物体の温度を `u(x, t)` とすれば次の通りである。

ここで`c(x)`, `rho(x)` はそれぞれ点 `x` における物体の比熱と密度である。 また、`K(x)` は点 x における物体の熱伝導度である。 ここで、`c, rho, K` がいずれも定数である場合には、`k = K/(c rho)` とおけば次の式に書き直せる。

`(delu)/(delt) = k (del^2 u) /(del x^2)`

学生のとき、物理実験でレンガの熱伝導率を測定したことがある。 熱伝導率はこの式を使って求めるのだが、 難儀だったことを覚えている。

第4章では偏微分方程式の基礎が述べられている。 「（偏微分方程式は解の表現に）無限個のパラメータが関与していることが， 偏微分方程式の取り扱いを難しくしている．」と述べ、この点の議論には、 「線形代数学のいわば無限次元版である関数解析学の知識が必要になる」と締めくくっている。 なるほど、関数解析学とは、線形代数学の無限次元版なのか、と妙に納得した。

数式の記述

数式はMathJax を用いている。

書誌情報

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