江沢　洋：漸近解析

概要

各種の方程式から得られる級数や積分などを、わかりやすい形で近似したいというときに役立つのが漸近展開である。 この漸近展開の方法を解説している。

オイラー変換

まず知ったのが、交代級数に対するオイラー変換だった。 これは驚きである。まず、|z| > ρで収束する次のベキ級数が与えられたとする。

$f\left(z\right)=\sum _{k=0}^{\mathrm{<mi>\infty </mi>}}{a}_k{z}^k$

この級数の第 M 項から先の部分和を S^Mと表記する。式変形によって（途中は省略）S^Mは次のようにかける。

$S^M=\sum _{k=0}^{\mathrm{<mi>\infty </mi>}}\frac{1}{{\left(1-z\right)}^{k+1}}{\Delta }^k{a}_M{z}^{M+k}$

これをもとの級数のオイラー変換 (Euler transform) と呼ぶ。 ここでΔ^ka_nは第 k 階差で次のように定義される。

${\Delta }^k{a}_n:=\Delta \left({\Delta }^{k-1}{a}_n\right)$
${\Delta }^1{a}_n:=a_{n+1}-a_n$
${\Delta }^0{a}_n:=a_n$

実際には、S_Mを k = L で打ち切って次の式を級数の和の近似とする。

$S^{\mathrm{M,\; L}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{<mi>L</mi>}}\frac{1}{{\left(1-z\right)}^{k+1}}{\Delta }^k{a}_M{z}^{M+k}$

オイラー変換の実例

オイラー変換を次の級数の和を求めるために使ってみる。

$S=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots +\frac{{(-1)}^{k-1}}{k}+\mathrm{\dots }$

この値を求めてみよう。S ^{M, L}の式で、 z = -1, M = 10, L = 3, a_k = 1 / (k + 1) を適用する。 まず、M - 1 = 9項までの和は次の式のとおり。

$S=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots -\frac{1}{10}$

上記の階差を用い、次の表でオイラー変換を計算する。

この右下の数、すなわちΣ_j=0³が階差による近似値だから、全体は

ちなみに、S の真値は ln 2 である。 また、1 - 1/3 + 1/5 - … の式の厳密解は π / 4 だが、 これもオイラー変換が適用できることがわかる。

おそろしく小さいもの

６４ページに、エイチバー（プランク定数 h を２πで割ったもの、ℏ）が出てくる。 著者は、この数を、10^-34J・sという値をもつことを示し、『これは，おそろしく小さい』と言っている。 このような述懐が読めることは、うれしい。

数式の表記

数式は　MathML (プレーン）を用いている。今思えば、ASCIIMathML を使うべきだったが、そのままにしている。

書誌情報

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