極私的関数解析：ノルム |
作成日：2013-01-23 最終更新日： |
ノルム(normo, norm)とは、（平面を含む）空間におけるベクトルの長さを一般化した（抽象化した）概念である。 ノルムを用いて、ベクトル空間に距離の概念を与えることができる。 ノルムが定義されたベクトル空間を、線形ノルム空間あるいはノルム空間と呼ぶ。
ノルムの語源はラテン語の norma であり、これはものさし、あるいは曲尺（かねじゃく）を指す。 ノルムに語感が似たことばにノルマがある。この語源はロシア語の Норма であり、 労働者に割り当てられた時間当たりの労働基準量のことをいう。 このとき、時間も、基準量も強制的な意味が込められている。こちらの語源がラテン語にあるかは不明である。
`K` を実数 `RR` または複素数 `CC` とし、`K` 上のベクトル空間 `X` を考える。 このとき、任意の係数 `alpha in K` と任意の `u, v in X` に対して、次の３つの性質が成り立つとき、 関数 `norm(*)`をノルムという。
1. は独立性、2. は三角不等式（あるいは劣加法性）、3. は同次性（あるいは斉次性）と呼ばれる。
なお、1. に `norm(u) >= 0` (正定値性）を付け加えることがあるが、これは劣加法性から導くことができる。
`v = -u` として2. を適用して、左辺は
`norm(u - u) = norm(0) = 0` 、
右辺は
`norm(u) + norm(-u) = norm(u) + abs(-1)norm(u) = norm(u) + 1 norm(u) = norm(u) + norm(u) = 2 norm(u)` 。
すなわち、`0 <= 2 norm(u) ` だから `0 <= norm(u)` よって正定値性がいえる。
ひとたびノルムを決めれば、これら３つの性質はノルムの公理となる。
三角不等式から次の不等式が得られる。
`abs(norm(u) - norm(v)) le norm(u - v)`
この式は逆向きの三角不等式または逆三角不等式と呼ばれる。では、逆三角不等式を証明する。
三角不等式
`norm(u + v) le norm(u) + norm(v)`
で
`v = w - u` とおいて
`norm(w) le norm(u) + norm(w - u)`
あらためて `w = v` として移項すると次の式が得られる。
`norm(v) - norm(u) le norm(v - u)`
`norm(u) - norm(v) ge - norm(u - v) cdots ①`
ここで、`norm(v-u) = norm(u-v)` を使った。
また、三角不等式で
`u = w - v`
とおくと、
`norm(w) le norm(w - v) + norm(v)`
あらためて `w = u` として移項すると次の式が得られる。
`norm(u) le norm(u - v) + norm(v)`
`norm(u) - norm(v) le norm(u - v) cdots ②`
①と②から次が成り立つ。
`abs(norm(u) - norm(v)) le norm(u-v)`
以上で証明できた。
定理：ノルム `norm(*)` は連続である。すなわち、ノルム空間 `X` の点列 `u_n in X (n = 1, 2, cdots)` が極限 `u_0` に収束するならば、 数列 `norm(u_n)` は極限値 `norm(u_0)` に収束する。
ノルムの性質のうち、1. の独立性を除いたものを半ノルムまたはセミノルムという（エスペラント duonnormo, 英語 seminorm）。
2 次元ベクトルのノルムは、ユークリッドノルム `norm(u)_2 = sqrt(abs(u_1)^2 + abs(u_2)^2)` 、 最大値ノルム`norm(u)_oo = max(abs(u_1), abs(u_2))` などの例がある。 ここで、座標平面 `(u_1, u_2)` 上で、ノルム `p` を固定したときにノルム `norm(u)_p` が同じとなる点の集合は閉曲線になる。これを下記に掲げる。 なお、`norm(u)_(2/3)` は三角不等式を満たさないためノルムではないが、参考のため掲示する。