極私的関数解析：ノルム |
作成日：2013-01-23 最終更新日： |
ノルム(normo, norm)とは、（平面を含む）空間におけるベクトルの長さを一般化した（抽象化した）概念である。 ノルムを用いて、ベクトル空間に距離の概念を与えることができる。 ノルムが定義されたベクトル空間を、線形ノルム空間あるいはノルム空間と呼ぶ。
ノルムの語源はラテン語の norma であり、これはものさし、あるいは曲尺（かねじゃく）を指す。 ノルムに語感が似たことばにノルマがある。この語源はロシア語の Норма であり、 労働者に割り当てられた時間当たりの労働基準量のことをいう。 このとき、時間も、基準量も強制的な意味が込められている。こちらの語源がラテン語にあるかは不明である。
`K` を実数 `RR` または複素数 `CC` とし、`K` 上のベクトル空間 `X` を考える。 このとき、任意の係数 `alpha in K` と任意の `u, v in X` に対して、次の３つの性質が成り立つとき、 関数 `||*||`をノルムという。
1. は独立性、2. は三角不等式（あるいは劣加法性）、3. は同次性（あるいは斉次性）と呼ばれる。 なお、1. に `||u|| >= 0` (正定値性）を付け加えることがあるが、これは劣加法性から導くことができる。 `v = -u` として2. を適用して、左辺は `||u - u|| = ||0|| = 0` 、 右辺は `||u|| + ||-u|| = ||u|| + |-1|||u|| = ||u|| + 1 ||u|| = ||u|| + ||u|| = 2||u||` 。 すなわち、`0 <= 2||u|| ` だから `0 <= ||u||` よって正定値性がいえる。
定理：ノルム `||*||` は連続である。すなわち、ノルム空間 `X` の点列 `u_n in X (n = 1, 2, cdots)` が極限 `u_0` に収束するならば、 数列 `||u_n||` は極限値 `||u_0||` に収束する。
2 次元ベクトルのノルムは、ユークリッドノルム `||x||_2 = sqrt(|x_1|^2 + |x_2|^2)` 、最大値ノルム`||x||_oo = max(|x_1|, |x_2|)` などの例がある。 ここで、座標平面(x, y) 上で、ノルム p を固定したときにノルム `||x||_p` が同じとなる点の集合は閉曲線になる。これを下記に掲げる。 なお、`||x||_(2/3)` はノルムではないが、参考のため掲示する。
agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(300,300,60); setGraphArea(-2,2,-2,2); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"y","x","p=2/3のノルム"); axes(); setPen("2","green"); plot(["cos(t)*cos(t)*cos(t)", "sin(t)*sin(t)*sin(t)"], 0, 2 * pi); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph
agraph TypeOfGraph=LinearLinear; setViewport(300,300,60); setGraphArea(-2,2,-2,2); setLabelsandTitle(Automatic,"y","x","p=1 のノルム"); axes(); setPen("2","green"); path([[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,0]]) viewportBorder("3","black"); endagraph
agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(300,300,60); setGraphArea(-2,2,-2,2); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"y","x","p=3/2のノルム"); axes(); setPen("2","green"); plot([ "pow(cos(t), 1.5)", "pow(sin(t), 1.5)"], 0, 0.5 * pi); plot(["-pow(sin(t), 1.5)", "pow(cos(t), 1.5)"], 0, 0.5 * pi); plot(["-pow(cos(t), 1.5)", "-pow(sin(t), 1.5)"], 0, 0.5 * pi); plot([ "pow(sin(t), 1.5)", "-pow(cos(t), 1.5)"], 0, 0.5 * pi); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph
agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(300,300,60); setGraphArea(-2,2,-2,2); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"y","x","p=2 のノルム"); axes(); setPen("2","green"); plot(["cos(t)", "sin(t)"], 0, 2 * pi); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph
agraph TypeOfGraph=Polar; setViewport(300,300,60); setGraphArea(-2,2,-2,2); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"y","x","p=4 のノルム"); axes(); setPen("2","green"); plot(["sqrt(cos(t))", "sqrt(sin(t))"], 0, 0.5 * pi); plot(["-sqrt(sin(t))", "sqrt(cos(t))"], 0, 0.5 * pi); plot(["-sqrt(cos(t))", "-sqrt(sin(t))"], 0, 0.5 * pi); plot(["sqrt(sin(t))", "-sqrt(cos(t))"], 0, 0.5 * pi); axesBorder("1","light"+gridstroke); viewportBorder("3","black"); endagraph
agraph TypeOfGraph=LinearLinear; setViewport(300,300,60); setGraphArea(-2,2,-2,2); setGridandTicks(1,1/24,1,1); setLabelsandTitle(Automatic,"y","x","p=∞ のノルム"); axes(); setPen("2","green"); rect([-1,-1],[1,1],"test"); viewportBorder("3","black"); endagraph
このページの数式は MathML で記述している。
