振り子の振れ幅が大きい場合，振り子の運動は単振動とは近似できなくなり，その運動は円運動（の一部）とみなさなければならなくなる。その周期 $T$ は，力学的エネルギー保存より，\[T=4\kon{\bun{l}{2g}}\int^{\theta_0}_0 \bun{\mathrm{d}\theta}{\kon{\cos\theta - \cos\theta_0}} \cdots\cdots\maru{1} \]で与えられた（前ページ参照）。ここで $\theta_0$ は，振り子の角振幅である。
　上式より実際の周期をどのようにして求めていくか，その計算法について以下に述べる。

　まず半角の公式より，\[\quad\cos\theta=1-2\sin^2\bun{\theta}{2}\\ \quad \cos\theta_0=1-2\sin^2\bun{\theta_0}{2}\\ \therefore \cos\theta-\cos\theta_0=2\bigg(\sin^2 \bun{\theta_0}{2}-\sin^2\bun{\theta}{2}\bigg) \cdots\cdots\maru{2}\] 　さらに $\maru{1}$ 式の積分をしやすくするために，角 $\phi$ を使って次の置き換えをする。\[　\sin\bun{\theta}{2}=\sin\bun{\theta_0}{2}\times \sin\phi \cdots\cdots\maru{3}\]　 このとき $\underline{\color{blue}{0\le \theta\le \theta_0}}$ であるとき， $\phi$ の範囲は $\underline{\color{blue}{0\le \phi \le \bun{\pi}{2}}}$ であることに注意（後述する積分において，積分範囲の指定に重要）。
　$\maru{3}$ 式を $\maru{2}$ 式に代入すると，\[\cos\theta-\cos\theta_0=2\bigg(\sin^2\bun{\theta_0}{2}-\sin^2\bun{\theta_0}{2}\times \sin^2\phi\bigg) \\ \quad\quad\quad\quad\quad =2\sin^2\bun{\theta_0}{2} \times \big(1-\sin^2\phi \big) \\ \quad\quad\quad\quad\quad =2\sin^2\bun{\theta_0}{2}\times \cos^2\phi \cdots\cdots\maru{4}\] 　また $\maru{3}$ 式を全微分して（ $\theta_0$ は定数である），\[　\bun{1}{2}\cos\bun{\theta}{2}\cdot \mathrm{d}\theta=\sin\bun{\theta_0}{2} \cdot \cos\phi\cdot\mathrm{d}\phi \\ \therefore \mathrm{d}\theta=\bun{2\,\sin\bun{\theta_0}{2}}{\cos\bun{\theta}{2}}\cos\phi \cdot \mathrm{d}\phi \\ \quad\quad =\bun{2\,\sin\bun{\theta_0}{2}}{\kon{1-\sin^2\bun{\theta}{2}}}\cos\phi \cdot \mathrm{d}\phi \cdots\cdots\maru{5}\]　 さらに上式に $\maru{3}$ 式を代入すると，\[\quad \mathrm{d}\theta=\bun{2\sin\bun{\theta_0}{2}}{\kon{1-\sin^2\bun{\theta_0}{2} \cdot \sin^2\phi}}\cos\phi \cdot \mathrm{d}\phi \cdots\cdots\maru{6} \]　以上より， $\maru{4}$ 式， $\maru{6}$ 式を $\maru{1}$ 式の積分部分に代入すると（ $\theta$ と $\phi$ の範囲に注意），\[\quad\quad \int^{\theta_0}_0 \bun{\mathrm{d}\theta}{\kon{\cos\theta - \cos\theta_0}}\\ \quad =\int^{\bun{\pi}{2}}_0\bun{1}{\kon{2\sin^2\bun{\theta_0}{2}\times \cos^2\phi}}\times \bun{2\sin\bun{\theta_0}{2}}{\kon{1-\sin^2\bun{\theta_0}{2} \cdot \sin^2\phi}}\cos\phi \cdot \mathrm{d}\phi \\ \quad =\int^{\bun{\pi}{2}}_0\bun{\kon{2}\mathrm{d}\phi}{\kon{1-\sin^2\bun{\theta_0}{2} \cdot \sin^2\phi}} \\ \quad \\ \quad \\ \therefore T=4\kon{\bun{l}{2g}}\int^{\theta_0}_0 \bun{\mathrm{d}\theta}{\kon{\cos\theta - \cos\theta_0}} \\ \quad =4\kon{\bun{l}{g}}\times \underline{\int^{\bun{\pi}{2}}_0\bun{\mathrm{d}\phi}{\kon{1-\sin^2\bun{\theta_0}{2} \cdot \sin^2\phi}}}_{( ア )}\cdots\cdots\maru{7}\] 　上式（ア）の積分部分は第一種完全楕円積分とばれる積分で，下の式の右辺のように，無限級数の形に書き直せることが数学的に知られている（その導出過程の詳細は各自調べてください）。
　ただし，　$\underline{\color{blue} {\sin\bun{\theta_0}{2}=k \quad (\,0 \le k \le 1\,) }}$ 　とおいた。\[\int^{\bun{\pi}{2}}_0\bun{\mathrm{d}\phi}{\kon{1-k^2 \cdot \sin^2\phi}}=\bun{\pi}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\bigg\{\bun{(2n-1)!!}{(2n)!!}\bigg\}^2 \cdot k^{2n} \]　ここで $!!$ の記号は，与えられた自然数に対して一つおきに階乗を取る…というもので，２重階乗と呼ばれる。例えば\[10\,!! =10\cdot 8\cdot 6\cdot 4\cdot 2=3840\\9\,!!=9\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 1=911\]なお\[0\,!!=1\\(-1)\,!!=1\]とする。以上のような積分部分の級数への変換により， $\maru{7}$ 式は次の２行目の式のように書き直すことができる。\[T=4\kon{\bun{l}{g}}\times \int^{\bun{\pi}{2}}_0\bun{\mathrm{d}\phi}{\kon{1-\sin^2\bun{\theta_0}{2} \cdot \sin^2\phi}} \\\quad =2\pi\kon{\bun{l}{g}}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\bigg\{\bun{(2n-1)!!}{(2n)!!}\bigg\}^2 \cdot k^{2n} \]　 ここで，$T_0=2\pi\kon{\bun{l}{g}}$ とおくと，\[\color{red}{\bun{T}{T_0} }=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\bigg\{\bun{(2n-1)!!}{(2n)!!}\bigg\}^2 k^{2n} \\ \quad =1+\bigg(\bun{1}{2}\bigg)^2k^2+\bigg(\bun{3 \cdot 1}{4 \cdot 2}\bigg)^2 k^4+\bigg(\bun{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2}\bigg)^2k^6+\cdots\cdots \\ \quad \color{red}{=1+\bun{1}{4}k^2+\bun{9}{64}k^4+\bun{225}{2304}k^6 + \cdots\cdots} \quad\quad\cdots\cdots\maru{8}\]
　上記のように積分を級数の形に変換することによって，さまざまな値の $k$ ，すなわち $\sin\bun{\theta_0}{2}=k$ により，さまざまな角振幅 $\theta_0$ に対する振り子の周期を近似的に求めていくことができることになる。もちろん，より高次の $k$ まで含めた計算ほど， $T$ の精度が高くなることになる。
　このことから，角振幅 $\theta_0$ が十分に小さく，したがって $k\ll 1$ であって $k$ の２次以上の項が無視できるとするなら， $\bun{T}{T_0} \kinji 1$ ，すなわち $T \kinji T_0=2\pi\kon{\bun{l}{g}}$ となることも理解できるであろう。
　さらに $\theta_0$ が十分に小さく $k=\sin\bun{\theta_0}{2} \kinji \bun{\theta_0}{2}$ とみなし得て，かつ $k$ の４次以上の項が無視できる範囲であるならば， \[\bun{T}{T_0} \kinji 1+\bun{1}{4}k^2 \\ \quad\quad =1+ \bun{1}{4}\bigg(\bun{\theta_0}{2}\bigg)^2 \\ \quad\quad = 1+ \bun{1}{16}\theta_0{}^2 \\\therefore T \kinji 2\pi\kon{\bun{l}{g}}\bigg(1+\bun{\theta_0{}^2}{16} \bigg) \]と近似できる。