解説:  モンキー・ハンティング


    *** 同じ加速度運動における2物体間の相対運動 ***

 

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モンキー・ハンティングの初歩的解説:


 上図のように,点Aより小球Pを初速$v_0$,水平に対する発射角$\theta$で発射し,同時に小球Qを前方距離$l$,高さ$h$の点Bより自由落下させたとして,PとQが衝突する条件について考える。
 Pの放物運動において,時間$t$後の水平距離$x$,地面からの高さ$y$は,重力加速度を$g$として, \[ \left \{ \begin{array}{rl} & \kern-1em x=v_0\cos\theta\cdot t\\ & \kern-1em \quad=(v_0\times t)* \cos\theta \cdots\maru{1} \\ & \kern-1em y=v_0\sin\theta \cdot t-\bun{1}{2}g\, t^2 \\ & \kern-1em \quad=(v_0\times t )*\sin\theta -\bun{1}{2}g\, t^2 \cdots\maru{2} \end{array} \right . \]  上の$\maru{1}$式を見ると,小球Pの時間$t$後の水平方向の変位$x$は,初速度$v_0$で時間$t$だけ等速度運動をしたときの水平距離($v_0t*\cos\theta$)に等しく,また$\maru{2}$式より,小球Pの時間$t$後の高さ$y$は,初速度$v_0$で時間$t$だけ等速度運動をしたときの高さ($v_0t*\sin\theta$)から時間$t$だけ自由落下した距離($\bun{1}{2}gt^2$)を差し引いた値に等しいことがわかる。すなわち放物運動は,初速度$v_0$の等速直線運動と自由落下運動を組み合わせた運動とみることができることになる。
 一方小球Qは自由落下をしているのであるから,時間$t$間のP,Qの自由落下距離はともに$\bun{1}{2}gt^2$である。よってもし上図のように,Pの初速度の方向がQの初期位置,すなわちA→Bの向きであったとすると$\bigg(\tan\theta=\bun{h}{l}\bigg)$,P・Qを結ぶ直線はどの時刻においても常に直線ABに平行となる。そしてP・Q間の距離が$v_0t$だけ短くなっていることになる。つまりP・Q間の距離は一定の速さ$v_0$で減少していき,ついには$\overline{\mathrm{PQ}}=0$となって両者は衝突することになる。
 よって,衝突までの時間を$t_0$とすると,$\overline{\mathrm{PQ}}=0$とおいて, \[ \overline{\mathrm{PQ}}=0=\overline{\mathrm{AB}}-v_0t_0 \\ \quad\therefore t_0=\bun{\overline{\mathrm{AB}}}{v_0}=\bun{\kon{l^2+h^2}}{v_0} \]  さらに両球が空中で衝突する条件は,衝突時におけるQの高さが0以上であるとおいて, \[ y_\mathrm{Q}=h-\bun{1}{2}gt_0{}^2\ge 0\\ \therefore h-\bun{1}{2}g\bigg(\bun{\kon{l^2+h^2}}{v_0}\bigg)^2 \ge 0\\ \therefore v_0\geqq \kon{\bun{g(l^2+h^2)}{2h} } \] でなければならない。
 以下,P・Qの衝突についてまとめると, \[ 発射角:\tan\theta=\bun{h}{l} \quad (\Vvec{AB}の方向)\\ 衝突時刻: t_0=\bun{\kon{l^2+h^2}}{v_0}\\ 空中で衝突する条件:v_0\geqq \kon{\bun{g(l^2+h^2)}{2h} } \] となる。

【参考】P,Qの時刻$t$における位置は, \[ P:\left \{ \begin{array}{rl} & \kern-1em x_\mathrm{P}=v_0\cos\theta\cdot t \\ & \kern-1em y_\mathrm{P}=v_0\sin\theta\cdot t-\bun{1}{2}gt^2 \end{array} \right . \\ Q:\left \{ \begin{array}{rl} & \kern-1em x_\mathrm{Q}=l \\ & \kern-1em y_\mathrm{Q}=h-\bun{1}{2}gt^2 \end{array} \right . \]  衝突するということは,ある時刻においてPとQの位置座標が同じになるということだから,$x_\mathrm{P}=x_\mathrm{Q}$,$y_\mathrm{P}=y_\mathrm{Q}$とおいて, \[ \left \{ \begin{array}{rl} & \kern-1em v_0\cos\theta\cdot t_0=l \cdots\maru{3}\\ & \kern-1em v_0\sin\theta\cdot t_0-\bun{1}{2}gt_0{}^2=h-\bun{1}{2}gt_0{}^2\\ & \kern-1em \quad\therefore v_0\sin\theta\cdot t_0=h \cdots\maru{4} \end{array} \right . \] $\maru{4}\div\maru{3}$より,$\tan\theta=\bun{h}{l}$ \[\therefore \cos\theta=\bun{1}{\kon{1+\tan^2\theta}}=\bun{l}{\kon{l^2+h^2}}\\ \maru{3}より, t_0=\bun{l}{v_0\cos\theta}=\bun{\kon{l^2+h^2}}{v_0} \]


同じ加速度をもつ2物体間の相対運動:
 2物体P,Qが同じ加速度$\Vec{a}$の等加速度運動をしているとする。P,Qの初期位置を$\Vec{r_0}$,$\Vec{R_0}$,初速度を$\Vec{v_0}$,$\Vec{V_0}$とし,時刻$t$における位置をそれぞれ$\Vec{r}$,$\Vec{R}$とすると, \[\left \{ \begin{array}{rl} & \kern-1em \Vec{r}=\Vec{r_0}+\Vec{v_0}\cdot t +\bun{1}{2}\Vec{a}t^2\\ & \kern-1em \Vec{R}=\Vec{R_0}+\Vec{V_0}\cdot t +\bun{1}{2}\Vec{a}t^2 \end{array} \right . \] よって,Qに対するPの相対的位置$\Vec{L}$は, \[ \Vec{L}=\Vec{r}-\Vec{R}\\ \quad =(\Vec{r_0}-\Vec{R_0})+(\Vec{v_0}-\Vec{V_0})\cdot t \] すなわち,相対運動では加速度$\Vec{a}$の効果は相殺されてしまい,相対初速度$\Vec{v_0}-\Vec{V_0}$なる速度の等速度運動となってしまう。$\Vec{a}$を重力加速度$\Vec{g}$と考えれば,重力場における2物体の相対運動も同様である。
 よって下図において,初期時におけるP,Qの位置をA,B,相対初速度を$\Vec{w_0}$とすると, \[\Vec{r_0}-\Vec{R_0}=\Vvec{BA}=-\Vvec{AB} \\ (or\quad \Vec{R_0}=\Vec{r_0}+\Vvec{AB}) \\ \Vec{w_0}=\Vec{v_0}+(-\Vec{V_0}) \\ (or\quad \Vec{v_0}=\Vec{V_0}+\Vec{w_0}) \\ \therefore \Vec{L}=(\Vec{r_0}-\Vec{R_0})+(\Vec{v_0}-\Vec{V_0})\cdot t\\ \quad= -\Vvec{AB}+\Vec{w_0}\cdot t \] ゆえにPとQが衝突する,すなわち$\Vec{L}=0$となるには, \[0=-\Vvec{AB}+\Vec{w_0}\cdot t_0\\ \therefore \Vec{w_0}\cdot t_0=\Vvec{AB} \] の関係が成立する必要があり,したがってPの初速度$\Vec{v_0}$からQの初速度$\Vec{V_0}$を差し引いた相対初速度$\Vec{w_0}$がA→Bの方向に向いてかなければならないことがわかる。
 そして衝突までの時間$t_0$は, \[ t_0=\bun{|\Vvec{AB}|}{|\Vec{w_0}|}=\bun{\overline{\mathrm{AB}}}{\bigg|\Vec{v_0}-\Vec{V_0}\bigg|} \] となる。