単振り子について

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振り子の運動は,振幅が十分に小さいときのみ単振動と見なせ,その振動周期$T$は振動振幅によらず, $T
= 2\pi \sqrt {{\bun{{l}}{{g}}}}
$で与えられる。しかし振幅が小さくない場合,その周期は振幅の増大とともに大きくなる。振幅が十分小さい場合には近似的に単振動と見なせるのに対して,振幅が大きくなると近似式が適用できなくなり,もはや単振動とは見なせなくなるからである。
\includegraphics [scale=1]{figg-1-1.eps}

図のように,長さ$l$の糸の先端に質量$m$のおもりの付いた振り子の運動について考える。ただし,空気抵抗やおもり自身の大きさは考えない。

いま図のように,最下点から円弧に沿ってはかった変位$s$の位置(このとき糸が鉛直に対してなす角を$\theta
$とする)におけるおもりの接線方向の加速度($s$の増大の向きを正)を $\alpha =
{\bun{{\mbox{d}^2s}}{{\mbox{d}t^{2}}}}$,糸の張力を$S$,重力の接線成分の大きさを$F$とすると,


\begin{displaymath}
m\alpha = m{\bun{{\mbox{d}^2s}}{{\mbox{d}t^{2}}}} = - F = - mg\sin
\theta \ldots \cdots \Maru{1}
\end{displaymath}

おもりの運動に関する基本の式はこの@式のみで,上式で近似が適用できるかできないかで,単振動になるかそうでないかの違いが生じる。


(1) 振動振幅 $ \textcolor{red}{\ll l}$の場合:
$\sin \theta
\mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel{\mathbin{\buildrel\scriptstyle...
...le x}}}}}\over
{\hfill\smash{\scriptstyle\cdot}}$}} \theta =
{\bun{{s}}{{l}}}$なる近似が使えるとき,@式は

\begin{eqnarray*}
m{\bun{{\mbox{d}^2s}}{{\mbox{d}t^{2}}}} = - mg\sin \theta
\m...
...
{\bun{{mg}}{{l}}}s = - k\;s \\
(ただしk = {\bun{{mg}}{{l}}})
\end{eqnarray*}



よってこの場合おもりの運動は単振動と近似でき,その周期は

\begin{displaymath}T = 2\pi \sqrt {{\bun{{m}}{{k}}}} = 2\pi \sqrt {{\bun{{l}}{{g}}}} \end{displaymath}

となり,周期は糸の長さのみで決まり,振動振幅にはよらない。これを振り子の等時性という。

 
(2)振動振幅が $\textcolor{red}{l}$と比べてあまり小さくない場合:
この場合,上記のような近似は使えない。
$s=l \theta \quad $であるから,@式は次のように書ける。

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 175
m \bun{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d...
... \theta}{\mathrm{d}t^2}=-\bun{g}{l}\sin \theta \cdots \Maru{2} \end{displaymath}

$\Maru{2}$式は$\theta
$に関する2階微分方程式であるが,この微分方程式から振り子の周期を求めることは簡単ではない。
<参考>周期など求めるには次のような形にしてから求める。$\Maru{2}$式の左右両辺に $\textcolor{blue}{\small \bun{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t}}$を乗じるか,または力学的エネルギー保存則より,振れ角振幅を $\textcolor{blue}{\small\theta_0}$として,
\begin{eqnarray*}
% latex2html id marker 74\bun{1}{2}mv^2 \! &=& \! \bun{1}{2}...
...n{l}{2g}}\bun{\mathrm{d}\theta}{\kon{\cos \theta-\cos \theta_0}}
\end{eqnarray*}



上式を積分して周期を求めるわけだが,これは第1種楕円積分とよばれ,難しい積分になる。

この場合周期は振れ角振幅に依存し,振れ角振幅が大きくなるほど周期は大きくなる。この様子を下図の青線に示す。横軸は振れ角振幅を,縦軸は周期$T$が,単振動と見なせる時の周期$T_0$の何倍になるかを示してある。振れ角振幅がπに近くなると(たとえば軽い棒の先におもりを付けて真上近くまで持ち上げて放す),周期は急激に大きくなっていく様子が分かる。

\includegraphics[scale=.8]{Image4.eps}

ちなみに,先に示したシミュレーションの「実際の運動に近い運動」では,計算で導かれた周期と有効数字4桁程度の正確さを有する。