小球の逐次衝突　

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小球の逐次衝突
　

*２球の正面衝突


　まず、２球が正面衝突をする場合を考える。
\includegraphics[scale=1]{fig1-1.eps}
　上図のように、２球の質量を$m$、$M$とし、両球間のはね返り係数を$e$、衝突前の速度をそれぞれ$v_0$、$V_0$、衝突後の速度を$v$、$V$とすると、運動量保存則とはね返り係数の関係式より、

\begin{displaymath} % latex2html id marker 87\kern-1zw \left \{ \begin{array}... ...1+e)v_0+(M-em))V_0}{m+M} \end{array} \right. \cdots \Maru{1} \end{displaymath}

　もし球Ａと球Ｂの質量が等しく、（完全）弾性である場合、上式で$m=M$、$e=1$とおくと、

\begin{displaymath}v=V_0,\qquad V=v_0 \end{displaymath}

となり、両球間で速度の交換が起きる。


*複数の小球による逐次衝突


　つぎに、本テーマである、直線状に並べられた小球間の逐次衝突 を考える。
　この衝突が同質量の小球による弾性衝突であるとすれば、衝突によって次々と速度の交換が起きていく。
\includegraphics[scale=1]{fig3-1.eps}
　簡単な一例として、たとえば図（ａ）のように、静止している２〜３の球に球１を速度$v_0$で衝突させる場合を考えよう。最初の衝突で、まず球１と２の速度交換が起き、球１が静止して、球２が速度$v_0$をうる。その直後に球２と３の衝突が起き、速度交換によって球２が静止して、球３が速度$v_0$を得る。結果的には球１と２が静止し、球３が速度$v_0$で動いていく。これらの一連の衝突はほとんど瞬時に起きる。
　では図（ｂ）のように、静止している球３に球１と球２を速度$v_0$で衝突させるとどうなるか。まず最初に２と３の衝突が起き、２が静止し、３が$v_0$を得る。その直後に、静止した２に１が衝突するので、１が静止し、２も$v_0$となる。以後３球による衝突は起きない。以下にその変化を表にしてある。
　 球１ 球２ 球３
1 $v_0$ $v_0$ $0$
2 $v_0$ $0$ $v_0$
3 $0$ $v_0$ $v_0$
このようにして、結果的に球１が静止し、球２と３が$v_0$の速度で運動する。
　では、静止している球２と３に、質量２倍の球１を速度$v_0$で衝突させるとどうなるか？　
\includegraphics[scale=1]{fig4-1.eps}
　まず球１と２との衝突が起きるが、今度は質量が異なるので、衝突によって速度交換というわけにはいかない。$\Maru{1}$式に$m=2M$、$e=1$を代入して計算すると、 $v_1=\bun{1}{3}v_0$、 $v_2=\bun{4}{3}v_0$となる。その直後に球２と３の衝突が起きるが、球２、３は同質量のため速度交換が起き、球２、３の速度はそれぞれ$v_2{}'=0$、 $v_3=\bun{4}{3}v_0$となる。さらにその直後に球１と２との２度目の衝突が起きる。$\Maru{1}$式に$m=2M$、$e=1$、 $v_0\Rightarrow \bun{1}{3}v_0$を代入して計算すると、 $v_1{}'=\bun{1}{9}v_0$、 $v_2{}''=\bun{4}{9}v_0$となる。その結果、 $v_1{}'<v_2{}''<v_3$となり、３球はもはや２度と衝突することはない。その変化を表にすると、以下のようになる。これらの衝突は瞬時に起き、衝突後３球はバラバラの速度で運動することになる。
　 球１ 球２ 球３
1 $v_0$ $0$ $0$
2 $\bun{1}{3}v_0$ $\bun{4}{3}v_0$ $0$
3 $\bun{1}{3}v_0$ $0$ $\bun{4}{3}v_0$
4 $\bun{1}{9}v_0$ $\bun{4}{9}v_0$ $\bun{4}{3}v_0$

*２球の衝突による面白い現象

　小球数を２球にし、弾性衝突（$e=1$）として、第１小球の質量をいろいろ変えて実験してみてください。質量の値に関係なく、２球が偶数回衝突すると、最初の状態に戻ることがわかります（本シミュレーションでは衝突によるぶれがありますので、ちょっと分りづらいかもしれません）。