小球の逐次衝突 

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小球の逐次衝突
 

*2球の正面衝突


 まず、2球が正面衝突をする場合を考える。
\includegraphics[scale=1]{fig1-1.eps}
 上図のように、2球の質量を$m$$M$とし、両球間のはね返り係数を$e$、衝突前の速度をそれぞれ$v_0$$V_0$、衝突後の速度を$v$$V$とすると、運動量保存則とはね返り係数の関係式より、

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 87\kern-1zw \left \{
\begin{array}...
...1+e)v_0+(M-em))V_0}{m+M}
\end{array} \right. \cdots \Maru{1}
\end{displaymath}

 もし球Aと球Bの質量が等しく、(完全)弾性である場合、上式で$m=M$$e=1$とおくと、

\begin{displaymath}v=V_0,\qquad V=v_0 \end{displaymath}

となり、両球間で速度の交換が起きる。



*複数の小球による逐次衝突


 つぎに、本テーマである、直線状に並べられた小球間の逐次衝突 を考える。
 この衝突が同質量の小球による弾性衝突であるとすれば、衝突によって次々と速度の交換が起きていく。
\includegraphics[scale=1]{fig3-1.eps}
 簡単な一例として、たとえば図(a)のように、静止している2〜3の球に球1を速度$v_0$で衝突させる場合を考えよう。最初の衝突で、まず球1と2の速度交換が起き、球1が静止して、球2が速度$v_0$をうる。その直後に球2と3の衝突が起き、速度交換によって球2が静止して、球3が速度$v_0$を得る。結果的には球1と2が静止し、球3が速度$v_0$で動いていく。これらの一連の衝突はほとんど瞬時に起きる。
 では図(b)のように、静止している球3に球1と球2を速度$v_0$で衝突させるとどうなるか。まず最初に2と3の衝突が起き、2が静止し、3が$v_0$を得る。その直後に、静止した2に1が衝突するので、1が静止し、2も$v_0$となる。以後3球による衝突は起きない。以下にその変化を表にしてある。
  球1 球2 球3
1 $v_0$ $v_0$ $0$
2 $v_0$ $0$ $v_0$
3 $0$ $v_0$ $v_0$
このようにして、結果的に球1が静止し、球2と3が$v_0$の速度で運動する。
 では、静止している球2と3に、質量2倍の球1を速度$v_0$で衝突させるとどうなるか? 
\includegraphics[scale=1]{fig4-1.eps}
 まず球1と2との衝突が起きるが、今度は質量が異なるので、衝突によって速度交換というわけにはいかない。$\Maru{1}$式に$m=2M$$e=1$を代入して計算すると、 $v_1=\bun{1}{3}v_0$ $v_2=\bun{4}{3}v_0$となる。その直後に球2と3の衝突が起きるが、球2、3は同質量のため速度交換が起き、球2、3の速度はそれぞれ$v_2{}'=0$ $v_3=\bun{4}{3}v_0$となる。さらにその直後に球1と2との2度目の衝突が起きる。$\Maru{1}$式に$m=2M$$e=1$ $v_0\Rightarrow \bun{1}{3}v_0$を代入して計算すると、 $v_1{}'=\bun{1}{9}v_0$ $v_2{}''=\bun{4}{9}v_0$となる。その結果、 $v_1{}'<v_2{}''<v_3$となり、3球はもはや2度と衝突することはない。その変化を表にすると、以下のようになる。これらの衝突は瞬時に起き、衝突後3球はバラバラの速度で運動することになる。
  球1 球2 球3
1 $v_0$ $0$ $0$
2 $\bun{1}{3}v_0$ $\bun{4}{3}v_0$ $0$
3 $\bun{1}{3}v_0$ $0$ $\bun{4}{3}v_0$
4 $\bun{1}{9}v_0$ $\bun{4}{9}v_0$ $\bun{4}{3}v_0$


*2球の衝突による面白い現象

 小球数を2球にし、弾性衝突($e=1$)として、第1小球の質量をいろいろ変えて実験してみてください。質量の値に関係なく、2球が偶数回衝突すると、最初の状態に戻ることがわかります(本シミュレーションでは衝突によるぶれがありますので、ちょっと分りづらいかもしれません)。