円形波の干渉 詳解

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\includegraphics [scale=1]{setumei-3-1.eps}
 

 

 上図において、$\mathrm{S_1}$$\mathrm{S_2}$は振動数$f$の点波源で、これらを中心に波長$\lambda$の円形波が広がっているとする。このとき、$\mathrm{S_1}$$\mathrm{S_2}$の振動が、それぞれ

\begin{eqnarray*}
y_{\mathrm{S_1}} &=& a \sin 2\pi f t \\
y_{\mathrm{S_2}} &=& a \sin (2\pi f t + \delta) \quad (\delta:位相差)
\end{eqnarray*}



と表されるとき、$\mathrm{S_1}$$\mathrm{S_2}$からそれぞれ距離$l_1$$l_2$離れた点Pにける振動は次のようになる。

\begin{eqnarray*}
Y_\mathrm{P} &=& y_{\mathrm{S_1}}+y_{\mathrm{S_2}} \\
&=& a ...
...(f t-\bun{l_1+l_2}{2\lambda} \bigg)+\bun{\delta}{2} \bigg \} \\
\end{eqnarray*}



上式の第2項(第2因子)は時刻$t$を含んでおり、この項は点Pが振動数$f$で振動することを表す振動項である。そして第1項(第1因子)の絶対値が、点Pの振動振幅$A$を表す。

\begin{displaymath}
A = 2a \bigg \vert \cos \bigg \{ \bun{\pi}{\lambda}(l_1-l_2)+\bun{\delta}{2} \bigg \} \bigg \vert \end{displaymath}

(1)
 $\delta=0$、したがって$\mathrm{S_1}$$\mathrm{S_2}$が同位相で振動している場合:

\begin{displaymath}
A = 2a \bigg \vert \cos \bigg ( \bun{\pi}{\lambda}(l_1-l_2) \bigg ) \bigg \vert \end{displaymath}

よって$n$を整数として、

\begin{eqnarray*}
% latex2html id marker 53\bun{\pi}{\lambda}(l_1-l_2) &=& n ...
...bun{\lambda}{2} \quad ならば \quad A=0 \cdots\cdots 弱め合い \\
\end{eqnarray*}



(2)
 $\delta=\pi$、したがって$\mathrm{S_1}$$\mathrm{S_2}$が位相差$\pi$で振動している場合:

\begin{eqnarray*}
A &=& 2a \bigg \vert \cos \bigg \{ \bigg ( \bun{\pi}{\lambda}(...
... \sin \bigg ( \bun{\pi}{\lambda}(l_1-l_2) \bigg ) \bigg \vert\\
\end{eqnarray*}



よって$n$を整数として、

\begin{eqnarray*}
% latex2html id marker 73\bun{\pi}{\lambda}(l_1-l_2) &=& n ...
...un{\lambda}{2} \quad ならば \quad A=2a \cdots\cdots 強め合い \\
\end{eqnarray*}



以上が、行路差による干渉条件式である。この関係式は、光波による干渉を考える場合もそのまま適用できる。

 

 次に節線について考える。上述したように、点Pにおける振幅$A$$\mathrm{S_1}$$\mathrm{S_2}$からの距離差$l_1-l_2$によって決まる。したがって$l_1-l_2$が同じ値なら振幅$A$も同じ値になるわけで、同じ振幅の点はそれぞれ双曲線か直線になることが分かる。