球形容器内にある物体の倍率について

戻る　　ビジュアル物理へ　　　　　トップページへ

\includegraphics [scale=1]{kingyo-kaisetu-1.eps}

上図において，球の中心を通る直線@と，物体の上端Ｐから出て光軸$x$に平行に進む光線Aとの交点として像の位置を求める。
物体の$x$座標を$x_0$，物体の高さを$h$とすると，光線@は屈折しないので，光線@は $y=\bun{h}{x_0}x \cdots\cdots \Maru{a}$なる式で表される。
つぎに光線Aについて考える。球形容器の半径を$R$，容器内の屈折率を$n$，外の屈折率を$1$とし，また各部分の角度を図のように設定すると，点Ｑにおける屈折の法則は，

\begin{displaymath}n\sin \alpha=1\times \sin(\alpha+\beta)\end{displaymath}

ここで $\sin\alpha=\bun{h}{R}$であるから，

\begin{displaymath} % latex2html id marker 98 1\times \sin(\alpha+\beta)=n\sin \... ...=\arcsin(n\bun{h}{R})-\arcsin(\bun{h}{R})\cdots\cdots \Maru{b} \end{displaymath}

一方点Ｑの$x$座標$x_\mathrm{Q}$は $x_\mathrm{Q}=\kon{R^2-h^2}$であるから，屈折後の光線Aは次式で表される。

\begin{displaymath}y=\tan \beta (x_\mathrm{Q}-x)+h=\tan \beta (\kon{R^2-h^2}-x)+h\cdots\cdots \Maru{c} \end{displaymath}

$\beta$に$\Maru{b}$を代入して$\Maru{a}$式と$\Maru{c}$式とを連立させて$x$，$y$を求めると，

\begin{eqnarray*} x &=& \bun{\bigg\{h+\kon{R^2-h^2}\tan\big\{\arcsin(\bun{nh}{R}... ...+x_0\tan\big\{\arcsin (\bun{nh}{R})-\arcsin(\bun{nh}{R})\big\}} \end{eqnarray*}



となる。ここで$h$が$R$に比べて十分に小さくしたがって光軸$x$軸に近い光線のみを考えてよいとすると，以下の近似式を適用して，

\begin{displaymath}\arcsin(\bun{nh}{R}) \fallingdotseq \bun{nh}{R}\quad ,\quad \arcsin(\bun{h}{R}) \fallingdotseq \bun{h}{R}\end{displaymath}


\begin{displaymath} % latex2html id marker 101 \therefore \tan\big\{\arcsin(\bun{nh}{R})-\arcsin(\bun{h}{R})\big\}\fallingdotseq (n-1)\bun{h}{R}\end{displaymath}


\begin{displaymath}\kon{r^2-h^2}\fallingdotseq R\end{displaymath}


\begin{displaymath} % latex2html id marker 103 \therefore \textcolor{red}{\uwave{x=\bun{nRx_0}{R+(n-1)x_0} \quad ,\quad y=\bun{nRh}{R+(n-1)x_0}}}\end{displaymath}

よって倍率は　　 $\textcolor{red}{\uwave{倍率=\bun{y}{h}=\bun{nR}{R+(n-1)x_0}}}$
となって，金魚の$x$座標が小さい，すなわち眼から遠ざかるほど倍率は高くなり，金魚は大きく見えることになる。たとえば水の屈折率はおおよそ$n=1.3$ぐらいであるから、金魚が金魚鉢の中心付近にいれば$x_0=0$とおいて倍率は$n$に等しく$1.3$倍、もっとも遠い位置にいるとして$x_0=-R$とすると倍率は $\bun{n}{2-n}\fallingdotseq 1.85$倍となる。