放射性原子が放射性崩壊するとき，統計的に見ると，単位時間に起こる崩壊の数は，その時点での放射性原子核数 $N$ に比例する。その比例係数を崩壊定数という。これを $\lambda$ で表せば，単位時間あたりにつき放射性原子核数 $N$ は $\lambda N$ ずつ減少していく。したがってこの原子核数の時間変化率 $\bun{\varDelta N}{\varDelta t}$ は， \[\bun{\varDelta N}{\varDelta t}=-\lambda \, N \] 　上式より， \begin{gather*} \bun{\varDelta N}{N}=-\lambda \varDelta t \\ \kern-2em \therefore \bun{dN}{N}=-\lambda \, dt \end{gather*} 左右両辺積分する。$\bun{1}{x}$ の積分は $\log_e x$ であるから， \[ \log_e N=-\lambda \, t+\mbox{積分定数}C \\ \kern-1em \therefore N=N_0 e^{-\lambda \, t} \] 　ここで $N_0$ は時刻 0 にあった原子核数である。上式は以下のように式変形が出来る。 \begin{gather} N=N_0e^{-\lambda t}=N_0\big(\bun{1}{2}\big)^{t/T}\quad \cdots\cdots (1) \end{gather} 　ただし $\lambda$ と $T$ との関係は，上式の左右両辺から$N_0$ をはずして自然対数をとると， \begin{gather} -\lambda \, t=-\bun{t}{T}\log_e{2} \\ \, \, \therefore T=\bun{\log_e{2}}{\lambda}\fallingdotseq \bun{0.693}{\lambda} \end{gather} 　(1)式は，時間 $t=T$ ずつたつごとに， $N$ は $\bun{1}{2}$，$\bigg(\bun{1}{2}\bigg)^2 = \bun{1}{4}$，$\bigg(\bun{1}{2}\bigg)^3 = \bun{1}{8}$， …… のように，半分，半分…… となっていくことを意味する。この $T$ を 半減期という。



◎本シミュレーションについて

　本シミュレーションでは，サイコロの「目」によって「原子核の崩壊」を決めていく…というものです。
　放射性原子の崩壊を原子核のレベルで見れば，個々の原子核はいつ崩壊するのかはわかりません。崩壊は全くランダムに起きています。
　一方，サイコロを振ったときに出るサイコロの「目」の数も全くランダムです。
　このような両者のランダム性を対応付け，原子核が崩壊していく経過を「サイコロを振る」という操作の繰り返しで推察してみよう…というのが本シミュレーションです。

　マス目１個々々が放射性原子１個々々に対応しており，マス目の数の分だけ原子核があると考えてください。
　各マス目にはサイコロが１個ずつ割り振られていて，このサイコロを振ったときに出る「目」の数によって，その原子核が崩壊するかしないかが決まる……というわけです。
　サイコロは，未崩壊として残っているマス目のサイコロが一斉に振られます。サイコロを振る回数が「時間経過」に相当するとして，振る回数の分だけ時間が経った……と考えてください。

　ここで「サイコロを振り」を１回行う毎に，それぞれのサイコロの「目」が指定された数『 $\bbold{s}$ 』 より大きいとき，つまり　 サイコロの目 $ \gt s $ 　であるとき，そのサイコロに対応したマス目の原子は崩壊したとして，マス目は黒色に変わっていきます。黒色のマス目は「崩壊した原子」…ということです。
　この場合各サイコロに出る目は全くランダムですから，サイコロの「目」が指定された数より大きくなる確率，つまり　サイコロの目 $ \gt s $ となる確率を $r$ とすると，\[r = \bun{6 - s}{6} \] で与えられます。例えば $ s = 4 $ とすれば，崩壊が起きるマス目（原子）はサイコロの目が「5」か「6」が出た場合ですから，崩壊確率は，\[r = \bun{6 - 4}{6} = \bun{2}{6} = \bun{1}{3} \] ということになります。
　したがってマス目（原子）の数が合計 $N_0$ 個あって，はじめ（時刻 $t=0$ ）すべてのマス目（原子）が未崩壊であったとすれば， $ r = \bun{1}{3}$ の場合，第１回目の「サイコロ振り」で崩壊するマス目（原子）の数は，確率的に， $ N_0 \cdot r = \bun{1}{3}N_0$ ，よって崩壊しないで残ったマス目（原子）の数 $N_1$ は \[N_1 = N_0 - N_0\cdot r \\ \kern1em = N_0\cdot ( 1 - r ) \\ \kern1em = N_0 \cdot (1 - \bun{1}{3} ) = \bun{2}{3}N_0\] となります
　残ったマス目の数のサイコロをもう一度一斉に振ると，１回目のサイコロ振りで残っていたマス目 $N_1$ 個のうち，さらに $N_1\cdot r=\bun{1}{3}N_1$ 個のマス目（原子）が崩壊する確率があるので，２度目のサイコロ振り後に崩壊しないで残っているマス目（原子）の数 $N_2$ は，\[N_2 = N_1 - N_1\cdot r \\ \kern1em = N_1 \cdot (1 - r ) \\ \kern1em = \big\{N_0 \cdot (1 - r )\big\} \cdot ( 1 - r) \\ \kern1em = N_0\cdot (1 - r )^2 \\ \kern1em = N_0\cdot \bigg(1 - \bun{1}{3} \bigg)^2 = \bun{4}{9}N_0 \] となります。
　以後この操作を繰り返していけば，未崩壊のマス目（原子）の数は $(1 - r )$ 倍ずつになっていくことが予想され，サイコロを振るという操作を $n$ 回行ったとすれば，未崩壊のマス目（原子）の数は，確率的に，\[N_n = N_0\cdot ( 1 - r)^n \] になっていることは容易に推測できるでしょう。つまり，この $r$ が，放射性元素の崩壊定数に相当すると考えることができます。

　「サイコロ振り」の回数 $n$ と崩壊の時間経過 $t$ との関係を調べるために，上式を(1)式と比較して $N_n = N$ とおいてみると， \[ N_n=N_0(1 - r )^n \quad\mbox{⇔}\quad N=N_0\bigg (\bun{1}{2} \bigg )^{t/T} \\ \kern-1em \therefore ( 1 - r )^n=\bigg (\bun{1}{2} \bigg )^{t/T} \] 対数をとって\[ \therefore n\log_e ( 1 - r )=-\bun{t}{T}\log_e 2 \\ \therefore t=\bun{-\log_e( 1 - r ) \, T}{\log_e 2}n \quad\cdots\cdots(2)\] 　以上より，$n$ 回目の操作（サイコロを一斉に振ること）を上記(2)式で与えられる時刻 $t$ に対応させれば，サイコロを振るという操作をもって原子核の崩壊過程がシミュレートできることになります。
　ちなみに　$r = \bun{1}{2}$　のとき， $ t=n \, T $ となり，サイコロ振り１回は半減期 $T$ に等しい時間経過に相当することになります。本シミュレーションの初期設定はこの値になっており，この場合サイコロを１回振るごとに残存数は半減していくことになります。