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放射性原子核崩壊の半減期


 放射性原子が放射性崩壊するとき,統計的に見ると,単位時間に起こる崩壊の数は、その時点での放射性原子核数$ N$に比例する。その比例係数を崩壊定数という。これを$ \lambda$で表せば、単位時間あたりにつき放射性原子核数$ N$$ \lambda N$ずつ減少していく。したがってこの原子核数の時間変化率 $ \bun{\varDelta N}{\varDelta t}$は、

$\displaystyle \bun{\varDelta N}{\varDelta t}=-\lambda N $

 上式より、

% latex2html id marker 178
$\displaystyle \bun{\varDelta N}{N}=-\lambda \varDelta t \quad \quad \therefore \bun{dN}{N}=-\lambda dt$    

左右両辺積分する。 $ \bun{1}{x}$の積分は$ \log_e x$であるから、

$\displaystyle \log_e N=-\lambda t+$積分定数% latex2html id marker 185
$\displaystyle C \qquad \qquad \therefore N=N_0 e^{-\lambda t} $

ここで$ N_0$は時刻0にあった原子核数である。上式は以下のように式変形が出来る。

$\displaystyle N=N_0e^{-\lambda t}=N_0\big(\bun{1}{2}\big)^{t/T}$ (1)

ただし$ \lambda$$ T$との関係は、上式の左右両辺から$ N_0$をはずして自然対数をとると、

% latex2html id marker 195
$\displaystyle -\lambda t=-\bun{t}{T}\log_e{2} \qquad \qquad \therefore T=\bun{\log_e{2}}{\lambda}\fallingdotseq \bun{0.693}{\lambda}$ (2)

(1)式は、時間$ t=T$ずつたつごとに、$ N$ $ \bun{1}{2}$ $ (\bun{1}{2})^2=\bun{1}{4}$ $ (\bun{1}{2})^3=\bun{1}{8}$、……のように、半分、半分……となっていくことを意味する。この$ T$半減期という。





本シミュレーションについて

 本シミュレーションでは、サイコロの「目」によって「原子核の崩壊」を決めている。
 サイコロを振ったとき、「目」が指定の数以上の数字が出た場合を「崩壊した」とし、サイコロを1回振ったときこのような「目」が出る確率をこの放射性原子核の崩壊定数と考えてみる。以下この確率を$ \lambda$として話を進める。
 たとえば「5」以上の数を指定した場合、 $ \lambda=2/6=1/3$となる。すなわちこの場合、この放射性原子核は「1/3」の確率で崩壊すると考える。
 
 いま$ N$個のサイコロを一斉に振ると、このとき$ \lambda N$個のサイコロ(原子核)が崩壊し、 $ (1-\lambda) N$個のサイコロ(原子核)が崩壊しないで生き残る確率がある。したがってこの操作(サイコロを一斉に振ること)を1回行なう度に崩壊しないで生き残るサイコロの数は $ (1-\lambda)$倍になっていくので、$ n$回繰り返したとき崩壊しないで残っている数$ N$ $ N_0(1-\lambda)^n$となっている。ただし$ N_0$は一番最初にあったサイコロの数とする。

% latex2html id marker 228
$\displaystyle \therefore N=N_0(1-\lambda)^n$ (3)

 これを(1)式と比較して、

$\displaystyle N=N_0(1-\lambda)^n$   ⇔$\displaystyle \qquad N=N_0\bigg (\bun{1}{2} \bigg )^{t/T}$ (4)
% latex2html id marker 231
$\displaystyle \therefore (1-\lambda)^n=\bigg (\bun{1}{2} \bigg )^{t/T}$   対数をとって% latex2html id marker 232
$\displaystyle \qquad \therefore n\log_e (1-\lambda)=-\bun{t}{T}\log_e 2$ (5)
% latex2html id marker 233
$\displaystyle \therefore t=\bun{-\log_e(1-\lambda)T}{\log_e 2}n$ (6)

 以上より、$ n$回目の操作(サイコロを一斉に振ること)を上記(6)式で与えられる時刻$ t$に対応させれば、サイコロをもって原子核の崩壊過程がシミュレートできることになる。
 ちなみに $ \lambda=\bun{1}{2}$のとき、$ t=nT$となり、サイコロ振り1回は半減期$ T$に等しい時間経過に同じになる。本シミュレーションの初期設定はこの値になっており、この場合サイコロを1回振るごとに残存数は半減していく。