ハイジの歌声
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◎相等単振り子 ロープの重さも考慮する今回のような「実体振り子」は、 下に示す長さの「相等単振り子（ロープの重さ=0とした振り子）」に置き換えて考えることができる。 相等単振り子の長さ：L' = I/（Ｍ･h） I ： 実体振り子の慣性モーメント = Σmi･Xi^2 Ｍ ： 実体振り子の総重量 h ： 実体振り子の支点〜重心の長さ = （Σmi･Xi）／Ｍ 計算すると、 L' =（Σmi･Xi^2）／（Σmi･Xi） =（2∫mr･dx･x^2+Mh･L^2）／（2∫mr･dx･x+Mh･L） ↑ロープ左右2本分として2倍 積分(∫)範囲：0〜L = L･（2･mr･L+3･Mh）／（mr･L+Mh）／3 mr ： ロープ単位長さあたり重さ Mh ： ハイジ体重＋ロープ結び目重さ L ： ロープ長さ（ブランコ支点〜ブランコ椅子までの長さ） ⇒ 以下、長さL'の単振り子の運動として考える。 ◎ブランコの運動 さて、ブランコの運動を考えるにあたって、Jacobiの積分はさっさとあきらめて、以下の漸化式で解くことにする。 （これならEXCELでできるのだ。） |
| t | φ(t) | θ1(t) | 重心の速度 Vr(t) | 重心の加速度 a(t) |
| 0 | 0 | 1(0)=-70ﾟ | 0 | -g･sin(-70ﾟ) |
| 1 | -(g･sinθ1(0)･Δt^2）/2/L' | θ1(0)+φ(1) | a(0)･Δt | -g･sinθ1(1)-k･Vr(1)^2 |
| 2 | -((g･sinθ1(1)･Δt^2）/2+Vr(1)･Δt)/L' | θ1(1)+φ(2) | Vr(1)+a(1)･Δt | -g･sinθ1(2)-k･Vr(2)^2 |
| : | : | : | : | : |
| t | -((g･sinθ1(t-1)･Δt^2）/2+Vr(t-1)･Δt)/L' | θ1(t-1)+φ(t) | Vr(t-1)+a(t-1)･Δt | -g･sinθ1(t)±k･Vr(t)^2 |
| ［補足］ t ： 時間。時間の刻み幅をΔtとしたとき、n･Δtのnの値。 φ,θ1 ： 角度（下図参照） Vr,a ： 実体振り子（ブランコ）重心の速度、加速度 （向きはロープと垂直） g ： 重力加速度 = 9.8m/sec^2 k ： 空気抵抗係数 （抵抗が結構大きそうなので、速度の二乗に比例する ものとする） |
| ◎ペーター方向の速度成分
というわけで、ハイジのブランコの速度Vr(t)が時間の関数として求まった。 「聞こえる歌の音程」を考えるとき、重要なのは「音源から観測者の方向への速度成分」である。･･･これをVp(t)とする。 ブランコに対するペーターの位置を図のＤ､Ｈで表すとして、Vpを求めると、 ｜Vp(t)｜ = Vh･sin（｜θ1｜+｜θ2｜） Vh ： ハイジの（口の）位置での速度 ブランコ支点〜ハイジまでの長さを Lhとすると Vh = Lh／L'・Vr θ2 ： 角度（図参照） θ2 = arctan((Lh･sin(θ1-D)／ (Lh･（1-cosθ1)+Ｈ+Lh)) （幾何学的に考えるために絶対値をとっているが、実際は位置関係によって符号が変わる。） |
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| ◎歌の音程変動 さて、いよいよ大詰め、音程についての考察である。 ここで、かのドップラー効果の登場だっ！ ドップラー効果の一般式は、 ν' = ν／（1-v／c） ここで、 ν' ： 観測される周波数 ν ： 音源の周波数 ｖ ： 音源と観測点の相対速度 （近づく場合+,遠ざかる場合-） ｃ ： 音速 気温T（℃）のとき c =（331.5+0.61･T） 今回、前項で求めた Vp(t) が上記の v に相当する。 従って、音源（ハイジ）の音程（周波数ν）と観測者（ペーター）に聞こえる音程（周波数ν'）は以下の関係で与えられる。 ν'／ν =（1-Vp(t)／c） ところで知られているとおり、1オクターブで周波数は2倍となる。 1オクターブの間に半音（12個）が均等な比率で収まっているとする場合（平均率）、隣り合う全音（1オクターブに6個）の周波数の比を r とすると、 ν+ = 2･ν = r^6･ν ⇒ r = 2^(1/6) ν+ ： ある音程（周波数ν）の1オクターブ上の周波数 また、周波数比ν'／νのとき音程が n 音ずれるとすると、 ν' = r^n･ν これより、 n = 6･log 2（ν'／ν) そう、この n こそが求めようとしていた「ハイジの歌の音程ずれ」なのでした！や〜れやれ。 何か疑問、質問ある方･･･こちらもあんまり自信ないんで、どうかご自分で解決なさってして下さいませ！ m(_ _)m |
